Encontre, se existirem, as assíntotas horizontas e verticais do gráfico da função.

f x = e - 1 / x 2 x

Passo 1

Acho válido antes de partirmos para o vamos ver, dar uma relembrada nessas assíntotas. Sabemos que assíntotas são retas (verticais ou horizontais). Essas retas tem uma característica de a função sempre se aproximarem dela, mas nuca encostar-se a elas.

Exemplo de assíntotas:

Para checar as possíveis assíntotas verticais, sempre buscamos um ponto onde a função pode dar problema, como no exemplo esse ponto é o x = 1 . E depois calculamos o limite de x tendendo a esse ponto: se for pro infinito, aí sim temos uma assíntota vertical!

E pra checar as assíntotas horizontais, calculamos o limite da função indo para os infinitos. Se ela der um número então esse número será a assíntota (nesse exemplo aí, a assíntota horizontal é o y = 0 ) .

Passo 2

Então primeiro calculemos as assíntotas verticais. Sabemos que a função que queremos no nosso caso...

f x = e - 1 / x 2 x

Como o denominador não pode ser 0 ...

    x ≠ 0

Então x = 0 é o nosso primeiro ponto a averiguar (então averiguemos tanto do lado direito quanto do lado esquerdo)...

lim x → 0 + ⁡ e - 1 / x 2 x

e também

lim x → 0 - ⁡ e - 1 / x 2 x

Passo 3

Para resolver esses limites, apenas note que quando x vai para 0 pela direita...

lim x → 0 + ⁡ e - 1 / x 2 x =

lim x → 0 + ⁡ 1 x e 1 / x 2 =

Esse limite é o mesmo que se fizermos apenas o limite do denominador...

1 lim x → 0 + ⁡ x e 1 / x 2 =

Usando a tática de colocar o produto como uma fração, já que quando x vai a 0 , e 1 / x 2 vai para o infinito tendo então uma indefinição do tipo 0 ⋅ ∞ ...

1 lim x → 0 + ⁡ e 1 / x 2 1 x =

Agora, temos uma indefinição do tipo ∞ / ∞ , do qual conseguimos aplicar L’hopital:

1 lim x → 0 + ⁡ e 1 / x 2 ' 1 x ' =

1 lim x → 0 + ⁡ e 1 / x 2 ⋅ 1 / x 2 ' - 1 x 2 =

1 lim x → 0 + ⁡ e 1 / x 2 ⋅ - 2 x 3 ' - 1 x 2 =

1 lim x → 0 + ⁡ 2 e 1 / x 2 x =

Voltando com o limite para a fração inteira....

lim x → 0 + ⁡ 1 2 e 1 / x 2 x =

lim x → 0 + ⁡ x e - 1 / x 2 2 =

Então concluímos que aquele limite Bizarro do inicio que queremos, é igual a esse limite bizarro:

lim x → 0 + ⁡ e - 1 / x 2 x = lim x → 0 + ⁡ x e - 1 / x 2 2

Passando para um lado só...

lim x → 0 + ⁡ e - 1 / x 2 x - lim x → 0 + ⁡ x e - 1 / x 2 2 = 0       →

lim x → 0 + ⁡ e - 1 / x 2 x - x e - 1 / x 2 2 = 0       →

lim x → 0 + ⁡ 2 e - 1 / x 2 - x 2 e - 1 / x 2 2 x = 0       →

lim x → 0 + ⁡ e - 1 / x 2 2 - x 2 2 x = 0       →

Separando o limite desse produto...

lim x → 0 + ⁡ e - 1 / x 2 x ⋅ lim x → 0 + ⁡ 2 - x 2 2 = 0

Sabemos que quando x vai a 0 , esse segundo limite vai a 1 , então:

lim x → 0 + ⁡ e - 1 / x 2 x ⋅ 1 = 0

lim x → 0 + ⁡ e - 1 / x 2 x = 0

Viu só? Chagamos de forma indireta ao resultado ! Normalmente conseguimos fazer isso quando o resultado do limite ficou bem parecido como o original, como nessa etapa acima:

lim x → 0 + ⁡ e - 1 / x 2 x = lim x → 0 + ⁡ x e - 1 / x 2 2

Passo 4

Como o limite quando x vai a 0 é um número e não ao infinito, não existe assíntotas verticais.

Passo 5

Agora então, busquemos as assíntotas horizontais (se existirem). Para isso, basta a gente aplicar o limite de x no infinito. Se aparecer algum número, esse número é a assíntota, saca?

lim x → + ∞ ⁡ e - 1 / x 2 x =

lim x → + ∞ ⁡ e - 1 / x 2 x =

Esse limite, quando x vai ao infinito positivo, a exponencial basicamente vai a 1 (pois o expoente vai a z e r o . Como o denominador é o x e x vaia para o infinito...

lim x �� + ∞ ⁡ e - 1 / x 2 x = 0

O mesmo acontece quando x vai para o infinito negativo....

lim x → - ∞ ⁡ e - 1 / x 2 x = 0

Logo, y = 0 é uma assíntota horizontal! ;)

Resposta

Assíntota horizontal: y = 0

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Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite lim x → 0 ⁡ t g x x + s e n x
Calculel) lim x → 0 ⁡ t g 3 x - s e n x s e n 3x
Encontre o limite. lim x → 0 ⁡ t gx x
Encontre o limite. lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x x 2