Encontre, se existirem, as assíntotas horizontas e verticais do gráfico da função.

f x = x ln ⁡ x

Passo 1

Acho válido antes de partirmos para o vamos ver, dar uma relembrada nessas assíntotas. Sabemos que assíntotas são retas (verticais ou horizontais). Essas retas tem uma característica de a função sempre se aproximarem dela, mas nuca encostar-se a elas.

Exemplo de assíntotas:

Para checar as possíveis assíntotas verticais, sempre buscamos um ponto onde a função pode dar problema, como no exemplo esse ponto é o x = 1 . E depois calculamos o limite de x tendendo a esse ponto: se for pro infinito, aí sim temos uma assíntota vertical!

E pra checar as assíntotas horizontais, calculamos o limite da função indo para os infinitos. Se ela der um número então esse número será a assíntota (nesse exemplo aí, a assíntota horizontal é o y = 0 ) .

Passo 2

Então primeiro calculemos as assíntotas verticais. Sabemos que a função que queremos no nosso caso...

f x = x ln ⁡ x

Como o denominador não pode ser 0 ...

ln ⁡ x ≠ 0       →               x ≠ 1

Então x = 1 é o nosso primeiro ponto a averiguar (então averiguemos tanto do lado direito quanto do lado esquerdo)...

lim x → 1 + ⁡ x ln ⁡ x

e também

lim x → 1 - ⁡ x ln ⁡ x

Passo 3

Para resolver esses limites, apenas note que quando x vai para 1 pela direita...

lim x → 1 + ⁡ x ln ⁡ x

O l n vai a zero pelo lado dos positivos... Um número positivo dividido por quase 0 positivo...

lim x → 1 + ⁡ x ln ⁡ x = + ∞

Quanto ao outro limite...

lim x → 1 - ⁡ x ln ⁡ x

Bem, quando x vai a 1 do lado esquerdo o ln se aproxima de 0 , mas pelos negativos, então...

lim x → 1 - ⁡ x ln ⁡ x = - ∞

Como os limites foram infinitos, x = 1 é uma assíntota vertical ;)

Passo 4

Um outro ponto que também poderia ser problemático é o x = 0 , pois sabemos que no l n , só podemos ter x > 0 ...

f x = x ln ⁡ x

Todavia, quando fazemos o limite desse cara indo à 0 pela direita (o lado esquerdo o ln ⁡   não existe)...

lim x → 0 + ⁡ x ln ⁡ x = 0

Passo 5

Agora então, vamos buscar as assíntotas horizontais. Para isso, basta a gente aplicar o limite de x no infinito. Se aparecer algum número, esse número é a assíntota, saca?

Como o l n não existe nos negativos, basta aplicar o limite tendendo ao infinito positivo:

lim x → + ∞ ⁡ x ln ⁡ x

Como temos uma indeterminação do tipo ∞ / ∞ , podemos aplicar L’Hopital:

lim x → + ∞ ⁡ x ln ⁡ x = lim x → + ∞ ⁡ x ' ln ⁡ x ' =

= lim x → + ∞ ⁡ 1 1 x =

= lim x → + ∞ ⁡ x = + ∞

Logo, não existe assíntotas horizontais ;)

Resposta

Assíntota vertical: x = 1

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Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite lim x → 0 ⁡ t g x x + s e n x
Calculel) lim x → 0 ⁡ t g 3 x - s e n x s e n 3x
Encontre o limite. lim x → 0 ⁡ t gx x
Encontre o limite. lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x x 2