Seja:

f x = x 2 sin ⁡ 1 x 3 ,     s e   x > 0 cos ⁡ x - A ,     s e   x ≤ 0

Encontre A de modo que a função f seja contínua em x = 0 . Para esse valor de A determine se f é derivável em x = 0 . Justifique sua resposta.

Passo 1

Show, questão sobre continuidade. Uma função contínua tem uma propriedade bacana que nos salva aqui. Essa propriedade vai ser:

lim x → a - ⁡ f x = lim x → a + ⁡ f x = f a

E isso tem que valer pra qualqueeer a que a gente escolha. Só pra gente não testar todos os valores de a do mundo, que são infinitos, a gente escolhe exatamente aquele em que a lei de formação muda, beleza? Vamos ter:

lim x → 0 - ⁡ f x = lim x → 0 + ⁡ f x = f 0

lim x → 0 - ⁡ cos ⁡ x - A = lim x → 0 + ⁡ x 2 sin ⁡ 1 x 3 = cos ⁡ 0 - A

Como cos ⁡ x - A é uma função contínua, podemos de cara simplificar essa igualdade, de forma que:

lim x → 0 - ⁡ f x = f 0

E logo:

lim x → 0 + ⁡ x 2 sin ⁡ 1 x 3 = cos ⁡ 0 - A

lim x → 0 + ⁡ x 2 sin ⁡ 1 x 3 = 1 - A

Show, falta um limite ai pra gente fazer. Pra isso, note que, não importa quem está dentro do seno, sempre vai valer:

- 1 ≤ sin ⁡ 1 x 3 ≤ 1

Multiplicando os dois lados por x 2 e aplicando o limite, estamos então usando o Teorema do Confronto! Saca só:

- x 2 ≤ x 2 sin ⁡ 1 x 3 ≤ x 2

- lim x → 0 + ⁡ x 2 ≤ lim x → 0 + ⁡ x 2 sin ⁡ 1 x 3 ≤ lim x → 0 + ⁡ x 2

0 ≤ lim x → 0 + ⁡ x 2 sin ⁡ 1 x 3 ≤ 0

E logo:

lim x → 0 + ⁡ x 2 sin ⁡ 1 x 3 = 0

lim x → 0 + ⁡ x 2 sin ⁡ 1 x 3 = 1 - A                 →                     0 = 1 - A                 →                     A = 1

Fechamos! A função então será contínua se A = 1 !

Passo 2

Beleza, agora pra sabermos se a função é derivável em x = 0 , temos que garantir duas coisas:

  1. Que ela seja contínua nesse ponto, o que tá de boas, já provamos
  2. Que a definição de derivada se aplique

Então vamos testar o item 2 , que é o mesmo que garantir a seguinte igualdade:

f ' 0 = lim x → 0 + ⁡ f x - f 0 x - 0 = lim x → 0 - ⁡ f x - f 0 x - 0

Pra isso, vamos precisar um limite pra cada lei de formação. Da uma olhada em como fica pra primeira lei:

lim x → 0 + ⁡ f x - f 0 x - 0 = lim x → 0 + ⁡ x 2 sin ⁡ 1 x 3 - cos ⁡ 0 - 1 x = lim x → 0 + ⁡ x 2 sin ⁡ 1 x 3 - 1 - 1 x

= lim x → 0 + ⁡ x 2 sin ⁡ 1 x 3 x = lim x → 0 + ⁡ x sin ⁡ 1 x 3

Analogamente ao que fizemos no passo 1 , se usarmos o teorema do confronto, achamos:

- 1 ≤ sin ⁡ 1 x 3 ≤ 1

- x ≤ x sin ⁡ 1 x 3 ≤ x

- lim x → 0 + ⁡ x ≤ lim x → 0 + ⁡ x sin ⁡ 1 x 3 ≤ lim x → 0 + ⁡ x

0 ≤ lim x → 0 + ⁡ x sin ⁡ 1 x 3 ≤ 0

lim x → 0 + ⁡ x sin ⁡ 1 x 3 = 0

Agora pra segunda lei de formação, temos:

lim x → 0 - ⁡ f x - f 0 x - 0 = lim x → 0 - ⁡ cos ⁡ x - 1 - cos ⁡ 0 - 1 x = lim x → 0 - ⁡ cos ⁡ x - 1 - 1 - 1 x

= lim x → 0 - ⁡ cos ⁡ x - 1 x

Calculando esse limite, acabamos achando uma indeterminação, saca só:

lim x → 0 - ⁡ cos ⁡ x - 1 x = cos ⁡ 0 - 1 0 = 1 - 1 0 = 0 0

Não da pra deixar assim né? Felizmente podemos usar a famosa Regra de L’Hospital porque o tipo de indeterminação encaixa com a regra. Realizando LH temos:

lim x → 0 - ⁡ cos ⁡ x - 1 x = lim x → 0 - ⁡ cos ⁡ x - 1 ' x ' = lim x → 0 - ⁡ - sin ⁡ x 1 = - sin ⁡ 0 1 = 0

Opa, então fechamos! A nossa igualdade realmente vai ser válida! Afinal os dois limites que achamos são iguais, mesmo que tenham funções diferentes dentro deles:

f ' 0 = lim x → 0 + ⁡ f x - f 0 x - 0 = lim x → 0 - ⁡ f x - f 0 x - 0

f ' 0 = 0 = 0

f ' 0 = 0

A minha função é sim derivável em x = 0 !

Resposta

A = 1

Função é derivável pois vale:

f ' 0 = lim x → 0 + ⁡ f x - f 0 x - 0 = lim x → 0 - ⁡ f x - f 0 x - 0

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite lim x → 0 ⁡ t g x x + s e n x
Calculel) lim x → 0 ⁡ t g 3 x - s e n x s e n 3x
Encontre o limite. lim x → 0 ⁡ t gx x
Encontre o limite. lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x x 2