Sejam f e g duas funções definidas em I R . Suponha que lim x → + ∞ ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ g x = + ∞ e que lim x → + ∞ ⁡ f x - g x = - 1 . Com relação ao valor de lim x → + ∞ ⁡ f x g x , é correto afirmar que:

  1. O limite existe e é igual a 1
  2. O limite existe e é igual a - 1
  3. Este limite não pode ser determinado por depender de f e g
  4. O limite existe e é igual à 0

Passo 1

Reescrever os dados do enunciado

Aqui o pulo do gato vai ser reescrever os dados do enunciado para algumas propriedades ficarem evidentes. Vamos lá:

lim x → + ∞ ⁡ f x = + ∞

lim x → + ∞ ⁡ g x = + ∞

lim x → + ∞ ⁡ f x - lim x → + ∞ ⁡ g x =   - 1

lim x → + ∞ ⁡ f x g x = lim x → + ∞ ⁡ f x lim x → + ∞ ⁡ g x = R

Todas essas relações acima vieram do enunciado e das propriedades dos limites. O que a questão exige da gente é saber usar essas belezinhas aí pra extrair alguma informação sobre R .

Passo 2

Discutir sobre quando R não existe e quando existe e é um número, ± ∞ ou 0 .

Ok Ok, talvez ainda esteja confuso. Mas calma lá, vamos pensar. Se

lim x → + ∞ ⁡ f x = + ∞

lim x → + ∞ ⁡ g x = + ∞

Então o limite que o enunciado pede fica:

lim x → + ∞ ⁡ f x g x = R = ∞ ∞

Eita ferro, uma indeterminação do tipo que dá pra resolver por L’Hospital. Normalmente, a gente só precisaria aplicar LH e tava tudo resolvido, mas aqui vamos precisar lembrar o que acontece quando fazemos isso. A regra de L’Hospital da certo porque começamos a comparar a equação das retas tangentes de f x e g x ao invés das funções originais. Portanto, resultados possíveis são:

1 ) lim x → + ∞ ⁡ f x g x =   + ∞   f x   c r e s c e   m u i t o   m a i s d o   q u e   g x c r e s c e

2 )   lim x → + ∞ ⁡ f x g x =   0 g x   c r e s c e   m u i t o   m a i s   q u e f x   c r e s c e

3 ) lim x → + ∞ ⁡ f x g x =   L g x e   f x   c r e s c e m   o u   d e c r e s c e m n o   m e s m o   r í t i m o

Agora, da uma olhada nisso tab[em, se

lim x → + ∞ ⁡ f x = + ∞

lim x → + ∞ ⁡ g x = + ∞

Então o limite que o enunciado pede fica:

lim x → + ∞ ⁡ f x - lim x → + ∞ ⁡ g x =   - 1

∞ - ∞ =   - 1

Outra ideterminação, mas veja que:

4 )   S e   g x   c r e s c e   m u i t o   m a i s   q u e   f x →   lim x → + ∞ ⁡ f x - lim x → + ∞ ⁡ g x = - ∞

5 )   S e   g x   c r e s c e   m u i t o   m e n o s   q u e   f x →   lim x → + ∞ ⁡ f x - lim x → + ∞ ⁡ g x = ∞

6 )   S e   g x e   f x   c r e s c e m   d e   f o r m a   p a r e c i d a →   lim x → + ∞ ⁡ f x - lim x → + ∞ ⁡ g x = ± l

É aqui que entra a sagacidade da questão: a gente já sabe que a linha 6 é verdadeira porque sabemos que essa diferença da - 1 . Sendo assim, com x → + ∞ , f x e g x crescem de forma semelhante, tornando falsas as linhas 1 e 2 . E agora você pode abrir um sorrisão porque se 1 e 2 são falsas, então as letras c ) e d ) são falsas também!

E olha só! As funções estão crescendo pra x → ∞ ! Então a possibilidade do limite lim x → + ∞ ⁡ f x g x ser negativo não existe! Em outras palavras, afirmar que 3 é a verdadeira dentre as primeiras, é o mesmo que escolher entre a ) e b )   a letra a ) . Pronto! Questão resolvida. Mas vamos ver essa linha de raciocínio de uma forma mais matemática agora? Vamos lá:

Passo 3

Usar o matematiquês ao invés do português

Beleza, falamos muito no passo anterior né? Vamos então mostrar tudo que foi discutido com algebrismo:

lim x → + ∞ ⁡ f x - lim x → + ∞ ⁡ g x =   - 1

lim x → + ∞ ⁡ f x =   - 1 +   lim x → + ∞ ⁡ g x

lim x → + ∞ ⁡ f x g x = lim x → + ∞ ⁡ f x lim x → + ∞ ⁡ g x = - 1 +   lim x → + ∞ ⁡ g x lim x → + ∞ ⁡ g x

lim x → + ∞ ⁡ f x g x = - 1 lim x → + ∞ ⁡ g x + lim x → + ∞ ⁡ g x lim x → + ∞ ⁡ g x

lim x → + ∞ ⁡ f x g x = - 1 lim x → + ∞ ⁡ g x + lim x → + ∞ ⁡ g x g x = - 1 lim x → + ∞ ⁡ g x + 1

lim x → + ∞ ⁡ f x g x = 1 - 1 ∞ = 1

ATENÇÃO! A LETRA C SERIA A CORRETA CASO A INFORMAÇÃO DO LIMITE DAS DIFERENÇAS NÃO NOS FOSSE DADA!

Resposta

L e t r a   A

O limite existe e é igual a 1

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite lim x → 0 ⁡ t g x x + s e n x
Calculel) lim x → 0 ⁡ t g 3 x - s e n x s e n 3x
Encontre o limite. lim x → 0 ⁡ t gx x
Encontre o limite. lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x x 2