Suponha que: f x - e x - 1 x + 1 3 - 1 ≤ x 2

Para todo x ≠ 0 . Sobre o limite lim x → 0 ⁡ f x é correto afirmar que:

  1. Seu valor é 3 .
  2. Seu valor é 2 .
  3. Seu valor depende de qual é a função f .
  4. Seu valor é 0 .
  5. Seu valor é 1 .

Passo 1

Basicamente temos que calcular essa limite. Como temos aqui um módulo, então podemos tirá-lo e usar a inequação: - x 2 ≤ f x - e x - 1 x + 1 3 - 1 ≤ x 2

Já que fora do módulo temos que admitir também os valores negativos, não é verdade?

Passo 2

Montanda essa inequação, podemos aplicar agora o limite em todos os lados, como fazemos quando aplicamos o teorema do confronto:

l i m x → 0 - x 2 ≤ l i m x → 0 f x - l i m x → 0 e x - 1 x + 1 3 - 1 ≤ l i m x → 0   x 2

Onde:

l i m x → 0 - x 2 = l i m x → 0   x 2 = 0

Ficando:

0 ≤ l i m x → 0 f x - l i m x → 0 e x - 1 x + 1 3 - 1 ≤ 0

Passo 3

Vamos tentar resolver o limite que está ali no meio agora, temos que:

l i m x → 0 e x - 1 x + 1 3 - 1 = 0 0

Como temos uma indeterminação de L’Hôpital, podemos aplicá-lo aqui. Derivando em cima e embaixo:

l i m x → 0 e x - 1 x + 1 3 - 1 = l i m x → 0 e x - 1 ' x + 1 3 - 1 '

Com:

e x - 1 ' = e x

x + 1 3 - 1 ' = x + 1 1 / 3 ' = 1 3 x + 1 - 2 3

Ficando:

l i m x → 0 e x - 1 ' x + 1 3 - 1 ' = l i m x → 0 e x 1 3 x + 1 - 2 3 = 1 1 3 = 3

Passo 4

Dessa maneira, temos que: 0 ≤ l i m x → 0 f x - 3 ≤ 0  

E, pelo teorema do confronto: l i m x → 0 f x = 3

Que corresponde a alternativa (a).

Resposta

Alternativa (a).

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite lim x → 0 ⁡ t g x x + s e n x
Calculel) lim x → 0 ⁡ t g 3 x - s e n x s e n 3x
Encontre o limite. lim x → 0 ⁡ t gx x
Encontre o limite. lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x x 2