Exercícios Resolvidos de Reta Tangente e Normal a Curva

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Enunciado

11. (1EE-2019.2) Considere a curva C dada por y 4 x 3 - y 3 + x 5 - x y 2 = 0 .

(b) Encontre a equação da reta tangente à curva C no ponto 1,1

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema, queremos obter a equação da reta tangente a equação y 4 x 3 - y 3 + x 5 - x y 2 = 0 e que passe pelo ponto 1,1 .

Para obter uma reta, precisamos de apenas duas coisas... o coeficiente angular da reta, e um ponto que pertence a ela.

No item anterior, descobrimos que a derivada d y d x da equação, é dada por

d y d x = - 3 x 2 y 4 + 5 x 4 - y 2 4 x 3 y 3 - 3 y 2 - 2 x y

Assim, como a derivada de uma função nos dá a tangente da função em um ponto, então o coeficiente angular é a própria derivada.

Sacou? 🤔

Passo 2

A equação de uma reta é dada por

y = A x + B

Onde A é o coeficiente linear e C é uma constante.

Pelo que vimos no passo anterior

A = d y d x

Aplicado no ponto 1,1

A = d y 1,1 d x = - 3 1 2 1 4 + 5 1 4 - 1 2 4 1 3 1 3 - 3 1 2 - 2 1 1

A = - 3 + 5 - 1 4 - 3 - 2

A = 7

Substituindo na equação da reta tangente

y = 7 x + B

Agora precisamos de um ponto que faça parte da reta.

Pra isso, vamos usar o ponto 1,1

Aplicando na reta, vamos obter que C é

1 = 7 1 + B

B = - 6

Portanto, a reta tangente é dada por

y = 7 x - 6

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

y = 7 x - 6

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