Exercícios Resolvidos de Reta Tangente e Normal a Curva

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Enunciado

(Cap. 13.2 - Ex. 29)Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas, no ponto especificado. Ilustre traçando o gráfico da curva e da reta tangente em uma mesma tela.

x = t ,     y = e - t ,     z = 2 t - t 2 ;       ( 0 ,   1 ,   0 )

Passo 1

Faala, pessoal! Tudo bem com vocês? Vamos lá resolver mais uma questão?

Esse exercício aqui é daqueles que tem o enunciado bem direto, então vamos ter que fazer poucas interpretações, o que vai ajudar bastante nossa vida!

O objetivo aqui é encontrar as equações paramétricas pra uma reta tangente à uma curva que foi dada. E o que isso quer dizer?

Precisamos lembrar aqui, que se a gente tem uma curva parametrizada (que vamos chamar de γ ( t ) ), e temos um ponto p nessa mesma curva, esse ponto nada mais é do que a seguinte junção: γ p = x p ,   y p ,   z ( p ) , que é chamada de equação vetorial.

Essa sacada do que compõe esse ponto em uma curva parametrizada vai ser a chave pra gente resolver esse probleminha aqui!

Então, seguindo a linha de raciocínio, se eu quero encontrar as equações paramétricas da reta tangente, nós vamos precisar de um ponto e uma direção. Se a gente tiver um ponto e uma direção, encontramos a reta. E pra esse caso aqui, a direção será dada pela derivada, já que queremos a reta tangente, e o ponto o enunciado deu pra gente.

Bom, então, primeiro vamos escrever a equação vetorial para a curva, a partir dos dados que foram fornecidos no enunciado:

γ t = 〈 x , y , z 〉

γ t = 〈 t , e - t , 2 t - t 2 〉

E partindo pra derivada, nós vamos utilizar o método da derivada termo a termo:

γ ' t = 〈 1 ,   - e - t ,   2 - 2 t   〉

Passo 2

Agora, a gente vai determinar o tempo t para que a curva esteja no ponto P ( 0,1 , 0 ) . Para isso, vamos usar o ponto P dado no enunciado, e a equação vetorial da curva.

O valor do parâmetro no ponto P ( 0 ,   1 ,   0 )   considerado é t = 0 já que temos:

x = t ,     x = 0

t = 0

Com o valor de t encontrado, vamos substituir ele nas derivadas de x ,   y   e z feitas no item anterior. Isso vai dar pra gente o vetor tangente:

γ ' 0 = 〈 1 ,   ( - e - 0 ) ,   ( 2 - 2 * 0 )   〉

γ ' 0 = 〈 1 ,   - 1 ,   2   〉

Com isso, a gente consegue ver aqui, que a linha tangente é paralela ao vetor 〈 1 , - 1,2 〉 e inclui o ponto P ( 0,1 , 0 ) .

Passo 3

Seguindo a questão, pra gente encontrar as equações paramétricas, da literatura, sabemos que a equação paramétrica é a soma do ponto P com o vetor γ ' ( 0 ) . Então:

r = P + ( t * γ ' 0 )

Fazendo isso para x ,   y e z , vamos ter que:

x = 0 + ( 1 * t ) = t

y = 1 + - 1 * t = 1 - t

z = 0 + ( 2 * t ) = 2 t

Organizando melhor as equações acima, temos que:

x = t                     y = 1 - t                     z = 2 t

Passo 4

Por fim, com base nas equações paramétricas da curva e da reta é possível traçar os gráficos de ambas numa mesma tela utilizando softwares. O gráfico para essa questãozinha aqui está mostrado abaixo:

Pra essa questão é isso, pessoal!! Bora resolver mais uma??

Resposta

x = t                     y = 1 - t                     z = 2 t

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