Exercícios Resolvidos de Reta Tangente e Normal a Curva

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Enunciado

Considere a superfície S de equação 8 x 2 + 3 y 2 + z 2 = 14 . Seja C a curva interseção de S com o plano y = 2 e L a reta tangente a C no ponto P = 1 , 2,2 . Marque a opção que identifica a superfície S , a curva C e dá uma parametrização de L , nessa ordem:

  1. Paraboloide circular, parábola e r t = 1 + t ,   2 ,   - 4 t - 2 ,   t ∈ R
  2. Elipsoide, elipse e r t = 1 + t ,   2 ,   - 4 t + 2 ,   t ∈ R
  3. Elipsoide, elipse e r t = 1 + t ,   1 ,   - 4 t - 2 ,   t ∈ R
  4. Paraboloide circular, circunferência e r t = 1 + t ,   2 ,   - 4 t + 2 ,   t ∈ R
  5. Paraboloide elíptico, elipse e r t = 1 + t ,   2 ,   - 4 t - 2 ,   t ∈ R

Passo 1

Ele pede 3 coisas para gente: Identificar a superfície, identificar a curva de interseção com um plano e a equação da reta tangente a essa curva no ponto 1,2 , 2 .

Para identificar a superfície, a gente vai comparar a equação dada com as que a gente conhece.

Para identificar a curva, a gente pode fazer a interseção entre as equações do plano e da outra superfície e comparar o resultado com as curvas que a gente conhece.

E no final, a gente vai ter eliminado algumas alternativas, então podemos verificar se as equações r t que sobraram atendem as restrições de passar pelo ponto 1 , 2,2 e ser tangente à curva nesse ponto.

Passo 2

A nossa superfície tem essa equação:

8 x 2 + 3 y 2 + z 2 = 14

Percebemos que todas as variáveis estão positivas e elevadas ao quadrado. E que todas estão de um lado da equação e temos uma constante no lado oposto a elas. Essas são as características de um Elipsoide, tranquilo?

Passo 3

Pelas alternativas que sobraram já sabemos que essa curva é uma elipse. Olha a razão:

8 x 2 + 3 y 2 + z 2 = 14 ,     y = 2

8 x 2 + 3 ⋅ 2 2 + z 2 = 14 ∴ 8 x 2 + z 2 = 2

E isso é uma elipse em y = 2 .

Passo 4

Sobraram duas retas. Vamos verificar a primeira condição: passar pelo ponto ( 1 , 2,2 ) .

Da letra b temos:

r t = 1 + t ,   2 ,   - 4 t + 2

Se fizermos t = 0 , vemos que essa reta passa pelo ponto ( 1 , 2,2 ) , olha só:

r 0 = 1 + 0 ,   2 ,   - 4 ⋅ 0 + 2 = ( 1,2 , 2 )

Agora olha a reta da letra c:

r t = 1 + t ,   1 ,   - 4 t - 2

Vamos igualar ela ao ponto para ver se existe um t que corresponda a ( 1 , 2,2 ) :

1 + t , 1 , - 4 t - 2 = 1,2 , 2

1 + t = 1 1 = 2 - 4 t - 2 = 2

Da segunda equação, a gente já vê que esse sistema não tem solução, então r ( t ) da letra c não passa pelo nosso ponto.

Nossa alternativa então é a que sobra: a letra b.

Resposta

Letra b

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