Exercícios Resolvidos de Reta Tangente e Normal a Curva

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Enunciado

Seja o paraboloide elíptico 4 x 2 + y 2 - 16 z = 0 . Determine a equação do plano tangente e a equação paramétrica da reta normal ao paraboloide no ponto - 2,4 , 2 .

Passo 1

Fala, pessoal! Equações do tipo f x , y , z = k constante são as chamadas curvas de nível. Nestas curvas o vetor gradiente:

∇ f ( x , y , z ) = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

É normal a curva no ponto x , y , z . Assim, num ponto x 0 ,   y 0 ,   z 0 , temos:

P L A N O   T A N G E N T E :                                     ∇ f x 0 , y 0 , z 0 ⋅ x , y , z - x 0 ,   y 0 ,   z 0 = 0

R E T A   N O R M A L :                                               σ t = x 0 ,   y 0 ,   z 0 + t ∇ f x 0 ,   y 0 ,   z 0

Nesse caso, temos:

f x , y , z = 4 x 2 + y 2 - 16 z = 0

Logo,

∇ f = 8 x ,   2 y ,   - 16

∇ f x 0 , y 0 , z 0 = ∇ f - 2,4 , 2 = 8 ⋅ - 2   ,   2 ⋅ 4 ,   - 16 = ( - 16 ,   8 ,   - 16 )

Passo 2

Assim, o plano tangente é dado por:

- 16 ,   8 ,   - 16 ⋅ x - ( - 2 ) ,   y - 4 , z - 2 = 0

⇒ - 16 x + 2 + 8 y - 4 - 16 z - 2 = 0

⇒ - 16 x + 8 y - 16 z = 32

Passo 3

E a reta normal:

σ t = - 2,4 , 2 + t ( - 16,8 , - 16 )

σ t = ( - 2 - 16 t ,   4 + 8 t ,   2 - 16 t )

Resposta

EQUAÇÃO DO PLANO TANGENTE: - 16 x + 8 y - 16 z = 32

PARAMETRIZAÇÃO DA RETA NORMAL: σ t = ( - 2 - 16 t ,   4 + 8 t ,   2 - 16 t )

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