Exercícios Resolvidos de Reta Tangente e Normal a Curva

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Enunciado

Considere a curva C definida pela função vetorial

r t = 3 t   s e n   t ,   3 t cos ⁡ t ,   - t  

onde t ≥ 0 .

Encontre equações simétricas para a reta tangente à curva C no ponto P 0 , - 3 π , - π .

Passo 1

Cara, as equações simétricas de uma reta são relações cartesianas que descrevem essa reta no espaço, mas como ela está em x , y , z , precisamos ser um pouquinho mais criativos para achar elas.

Um caminho para fazer isso é achar as equações paramétricas dessa curva no ponto dado e depois as simétricas. Como?

Cara, a gente acha a equação paramétrica usando essa fórmulinha:

σ s = P 0 + r ' t 0   s

Onde P 0 é o ponto que pertence a nossa reta, então a gente pode dizer do enunciado que

P 0 = ( 0 , - 3 π , - π )

E s é só um parâmetro que a gente vai usar, para não usar t de novo. Vem comigo para saber mais!

Passo 2

r ' t 0 é a derivada de r t no ponto t 0 . E quem é t 0 ? É o valor de t para o ponto P 0 = 0 , - 3 π , - π . A gente acha ele usando a equação da nossa curva, assim:

r t = 3 t   s e n   t ,   3 t cos ⁡ t ,   - t

r t 0 = 3 t 0   s e n   t 0 ,   3 t 0 cos ⁡ t 0 ,   - t 0 = 0 , - 3 π , - π  

Da componente z , a gente tira a relação

- t 0 = - π ∴ t 0 = π

Daí temos que

r ' t 0 = r ' π

Passo 3

Vamos calcular esse cara então:

r t = 3 t   s e n   t ,   3 t cos ⁡ t ,   - t

r ' t = 3 s e n   t + 3 t cos ⁡ t ,   3 cos ⁡ t - 3 t   s e n   t ,   - 1

r ' π = 0 - 3 π ,   - 3 ,   - 1

r ' π = - 3 π ,   - 3 ,   - 1

Aí nossas equações paramétricas ficam:

σ s = P 0 + r ' t 0   s

σ s = 0 , - 3 π , - π + - 3 π ,   - 3 ,   - 1   s

σ s = - 3 π s , - 3 π - 3 s , - π - s

Beleza!

Passo 4

Agora a gente pode achar as equações simétricas daí. Como?

Queremos relações entre x , y , z para descrever nossa reta. As equações paramétricas dizem que

σ s = - 3 π s , - 3 π - 3 s , - π - s

x = - 3 π s ,     y = - 3 π - 3 s ,     z = - π - s

O que a gente pode fazer é isolar s em todas elas:

s = - x 3 π ,     s = - y - 3 π 3 ,     s = - z - π

Temos 3 expressões para s , podemos igualar todas elas!

- x 3 π = - y - 3 π 3 = - z - π

Prontinho! Achamos as equações que queríamos.

Resposta

- x 3 π = - y - 3 π 3 = - z - π

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