Considere
Considere a curva plana parametrizada , obtida pela projeção de no plano .
- Encontre uma curva de nível (no plano ) dada por tal que o traço de está contido em . Explicite .
- Escreva o vetor normal a no ponto e exiba a equação cartesiana da reta tangente à em .
Passo 1
Primeiramente, vamos descobrir quem é a tal da curva .
Se o enunciado diz pra gente que ela é a projeção da curva no plano , o que ele tá querendo dizer é que a curva é igualzinha a curva , com a diferença de que nela nós temos a componente . Assim
Passo 2
Beleza, mas agora ele quer saber uma que contém a imagem de , para, a partir dessa , encontramos uma curva de nível dada por .
Isso significa que temos a equação paramétrica de e partir dela, precisamos achar a equação cartesiana de .
E essa equação cartesiana será a equação do gráfico de pois a imagem de está contida na .
Passo 3
Então vamos lá.
Não sei se isso te lembra a mesma coisa que a mim, mas olhando pra essa parametrização aí, com esse seno e esse cosseno, sendo multiplicados por uma constante, me lembra muuuuuuito a parametrização de uma circunferência e de uma elipse, que é bem parecida com a da circunferência.
Tá, mas então o que será isso? Elipse ou circunferência?
A resposta, meu jovem, é que isso é uma elipse!
E como eu sei disso?
Porque a constante que tá multiplicando o cosseno é diferente da constante que tá multiplicando o seno.
Beleza, agora que já descobrimos que essa curva é uma elipse, precisamos achar a equação cartesiana dela, ou seja, uma equação onde em vez do parâmetro , temos e .
Vamos isolar o seno e o cosseno para fazer o que sempre fazemos quando eles aparecem: usar a relação fundamental da trigonometria.
Relação fundamental da trigonometria:
Show! Então o traço de está contido na elipse
E
Passo 4
O vetor normal a curva , que é curva de nível de , é o gradiente de .
No ponto :
Passo 5
Já que temos um vetor normal a curva , podemos descobrir a equação cartesiana da reta tangente a fazendo um produto escalar entre o vetor normal a e um vetor que pertence a , pois como esses dois vetores são perpendiculares, sabemos que esse produto escalar tem que dar zero.
Assim
Resposta
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