Exercícios Resolvidos de Reta Tangente e Normal a Curva

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Enunciado

(Cap. 13.2 - Ex. 34) Em que ponto as curvas r 1 t = ( t ,   1 - t ,   3 + t 2 ) e r 2 s = ( 3 - s ,   s - 2 ,   s 2 ) se cruzam? Determine o ângulo de intersecção destas, com precisão de um grau.

Passo 1

Faaala aí, pessoal! Partiu resolver mais uma questãozinha?

O objetivo desse exercício aqui, é encontrar o ponto em que as curvas que foram dadas no enunciado se cruzam, e qual o ângulo entre elas, quando esse cruzamento acontece.

Aqui, ele diz ainda que esse grau deve ter precisão de um grau. Isso quer dizer que não é necessário colocar a resposta em número decimal.

Primeiramente, devemos encontrar o ponto de intersecção das curvas dadas, ou seja, onde as curvas se cruzam. Pra isso, vamos igualar as duas equações vetoriais que foram dadas no enunciado:

r 1 t = r 2 ( s )

t ,   1 - t ,   3 + t 2 = ( 3 - s ,   s - 2 ,   s 2 )

Da igualdade acima, vamos obter 3 equações:

t = 3 - s ,     1 - t = s - 2 ,     3 + t 2 = s 2

Tá, mas o que eu faço com isso agora?

Para encontrar o ponto de intersecção das curvas devemos encontrar os valores de t e s das equações acima, que satisfazem as equações simultaneamente, ou seja, ao mesmo tempo.

As 2 primeiras equações são equivalentes, por isso, utilizaremos a primeira e a terceira para encontrar os valores procurados.

Da primeira equação temos t = 3 - s . Substituindo t na terceira equação teremos:

3 + 3 - s 2 = s 2

3 + 9 - 6 s + s 2 = s 2

6 s = 12

s = 2

Pronto. Já encontramos o valor de s . Agora vamos para o valor de t :

Vamos substituir o valor de s encontrado na primeira equação:

t = 3 - 2 = 1

Agora que temos s e t , vamos substituir t em r 1 ( 1 ) para encontrar o ponto de intersecção:

r 1 1 = t ,   1 - t ,   3 + t 2

r 1 1 = 1 ,   1 - 1 ,   3 + 1 2

Se fizermos a mesma coisa para s :

r 2 2 = ( 3 - s ,   s - 2 ,   s 2 )

r 2 2 = 3 - 2 ,   2 - 2 ,   2 2

Portanto, o ponto de intersecção das curvas é dado por

r 1 1 = r 2 2 = ( 1 ,   0 ,   4 )

Passo 2

Agora, para descobrirmos o ângulo de intersecção das curvas, vamos primeiramente fazer a derivada termo a termo.

As derivadas das curvas, que representam a equação geral do vetor tangente à cada uma delas, são dadas por:

r 1 ' t = ( 1 ,   - 1 ,   2 t )

r 2 ' s = ( - 1,1 ,   2 s )

No ponto de intersecção, vamos substituir os valores de t e s encontrados no passo anterior na equação acima:

r 1 ' 1 = ( 1 ,   - 1 ,   2 )

r 2 ' 2 = ( - 1 ,   1 ,   4 )

Esses valores de r 1 ' 1 e r 2 ' 2 são os vetores tangentes.

Passo 3

Agora que temos os vetores tangentes, vamos calcular o produto escalar entre eles. Para isso, basta fazermos a multiplicação entre eles, e fazer a soma:

r 1 ' 1 ⋅ r 2 ' 2 = 1 ,   - 1 ,   2 ⋅ - 1 ,   1 ,   4 = - 1 - 1 + 8 = 6

Passo 4

Tá, mas onde entra o ângulo nisso tudo que fizemos até agora?

Da literatura, nós sabemos que o produto escalar também pode ser dado pela segunte fórmula:

r 1 ' 1 ⋅ r 2 ' 2 = r 1 ' 1 r 2 ' 2 c o s c o s   θ  

Sendo θ o ângulo entre os vetores.

Isolando o termo c o s c o s   θ   temos

c o s c o s   θ   = r 1 ' 1 ⋅ r 2 ' 2 r 1 ' 1 r 2 ' 2

Passo 5

Para encontrarmos o ângulo, vamos primeiro encontrar o cosseno desse ângulo, e aplicar então a função do arcotangente, que nos dará o valor de θ .

Então, substituindo os valores na equação do cosseno do passo anterior, temos que:

c o s c o s   θ   = 6 ( 1 2 + - 1 2 + 2 2 ) ( ( - 1 ) 2 + 1 2 + 4 2 ) = 6 6 18 = 6 6 3 = 1 3

O ângulo θ é dado então por

θ = a r c c o s a r c c o s   1 3   ≈ 55 °

Prontinho, pessoal! Pra esse exercício, é isso!! Bora pra mais uma?

Resposta

r 1 1 = r 2 2 = ( 1 ,   0 ,   4 ) .

θ ≈ 55 °

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