Exercícios Resolvidos de Reta Tangente e Normal a Curva

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Enunciado

Encontre as equações paramétricas para a reta tangente à curva definida pela interseção das superfícies x 2 + y 2 = 4 e x 2 + y 2 - z = 0 no ponto de coordenadas 2 ,   2 ,   4 .

Passo 1

O problema quer a equação paramétrica das superfícies x 2 + y 2 = 4 e x 2 + y 2 - z = 0 . Então, a gente começa substituindo a primeira equação na segunda. Temos:

x 2 + y 2 - z = 0

Substituindo:

4 - z = 0

z = 4

Passo 2

Podemos usar a parametrização da circunferência para x 2 + y 2 = 4 . Vai ficar:

x 2 + y 2 = 4

x = 2 cos ⁡ θ   ,   y = 2 s e n θ ,     0 ≤ θ ≤ 2 π

Então a equação da interseção das superfícies é:

C θ = 2 cos ⁡ θ , 2 s e n θ ,   4 ,     0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 3

Para encontrar a reta tangente, vamos começar encontrando o vetor tangente a curva no ponto pedido. Vai ficar:

C ' θ = - 2 s e n θ , 2 c o s θ ,   0 ,     0 ≤ θ ≤ 2 π

No ponto 2 ,   2 ,   4 vamos ter:

C θ = 2 ,   2 ,   4 = 2 cos ⁡ θ , 2 s e n θ ,   4

Logo:

θ = π 4

Então:

C ' π 4 = - 2 2 2 , 2 2 2   ,   0

C ' π 4 = - 2 , 2   ,   0

Passo 4

Agora é só encontrar a equação da reta tangente, que passa pelo ponto 2 ,   2 ,   4 :

r t = 2 ,   2 ,   4 + - 2 , 2   ,   0 t   ,     t ∈ R

r t = 2 - 2 t ,   2 + 2 t ,   4   ,     t ∈ R

- ''

Resposta

r t = 2 - 2 t ,   2 + 2 t ,   4   ,     t ∈ R

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