Exercícios Resolvidos de Reta Tangente e Normal a Curva

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Enunciado

Sejam f t = t , 1 , e - t e g t = e t , 0 , - sen ⁡ t e duas funções vetoriais. Considere a curva C definida por

r t = f t   × g t

  1. Encontre a função vetorial r t . Ou seja, calcule o produto vetorial acima.
  2. Encontre equações paramétricas para a reta tangente à curva C no ponto 0,1 , - 1 .
  3. Calcule a curvatura de C mesmo ponto 0,1 , - 1 .

Passo 1

Fala galera, tudo na paaaaz? Aqui a gente vai diretão pra questão. Afinal ela pede já na letra a um produto vetorial, que pode ser definido como:

f t = t , 1 , e - t

g t = e t , 0 , - sen ⁡ t

r t = f t   × g t

Pra achar esse produto vetorial, fazemos a determinante da seguinte matriz:

r t = f t   × g t = i j k t 1 e - t e t 0 - sen ⁡ t

Calculando ela, temos:

r t = 1 ∙ - sen ⁡ t ∙ i + e t ∙ e - t ∙ j + t ∙ 0 ∙ k - e - t ∙ 0 ∙ i + t ∙ - sen ⁡ t ∙ j + 1 ∙ e t ∙ k

r t = - sen ⁡ t   i + 1 j + 0 k - 0   i - t sen ⁡ t j + e t   k

r t = - sen ⁡ t   i + 1   j + 0   k - 0   i + t sen ⁡ t j - e t   k

r t = - sen ⁡ t i + 1 + t sen ⁡ t j - e t k

Em outras notação, isso é o mesmo que:

r t = - sen ⁡ t , 1 + t ∙ sen ⁡ t , - e t

Passo 2

Show galera, agora vamos falar de reta tangente. Pra isso, vamos considerar que, para um parâmetro t 0 qualquer, a reta tangente a r t quanto t = t 0 é dada, de forma geral, por:

r t a n t = r ' t 0 ∙ t + r t 0

Onde:

  • r t 0 Ponto de tangência
  • r ' t 0 Vetor diretor da reta

Bem, a questão diz qual é o ponto de tangência, mas não diz qual o valor do parâmetro que resulta nesse ponto. Bora achar então:

r t 0 = - sen ⁡ t 0 , 1 + t 0 ∙ sen ⁡ t 0 , - e t 0 = 0,1 , - 1

Pra achar t 0 é bem rapidinho se igualarmos a terceira coordenada ao seu valor:

- e t 0 = - 1

t 0 = 0

Portanto, falta agora só achar r ' t 0 = r ' 0 . Pra isso, a gente primeiro deriva r t em relação a t :

r t = - sen ⁡ t , 1 + t ∙ sen ⁡ t , - e t

r ' t = - cos ⁡ t , t ∙ cos ⁡ t + sen ⁡ t , - e t

E depois aplica o valor do parâmetro no ponto de tangência ( t = 0 ):

r ' 0 = - cos ⁡ 0 , 0 ∙ cos ⁡ 0 + sen ⁡ 0 , - e 0

r ' 0 = - 1,0 , - 1

A reta tangente então será:

r t a n t = - 1,0 , - 1 ∙ t + 0,1 , - 1

r t a n t = - t , 1 , - t - 1

Passo 3

Quase acabando povo! A última letra pede pra calcular a curvatura! É bem aplicação de fórmula mesmo. A curvatura tem essa fórmula aqui:

k t = r ' t × r ' ' t r ' t 3

Vai dar um trabalho braçal fazer essas contas, então vamos com calma. Pra início de conversa, já temos r ' t . Então calcular r ' ' t é mole, só derivar de novo em relação a t :

r ' t = - cos ⁡ t , t ∙ cos ⁡ t + sen ⁡ t , - e t

r ' ' t = sen ⁡ t , cos ⁡ t - t ∙ sen ⁡ t + cos ⁡ t , - e t

r ' ' t = sen ⁡ t , 2 cos ⁡ t - t ∙ sen ⁡ t , - e t

Como a questão ta pedindo no mesmo ponto, da letra b , então na verdade o que ela quer é:

k 0 = r ' 0 × r ' ' 0 r ' 0 3

Já que achamos o valor do parâmetro t = 0 . Então beleza galera! Pra começar, o denominador será:

r ' 0 = - 1,0 , - 1

r ' 0 = - 1 2 + 0 2 + - 1 2

r ' 0 = 1 + 0 + 1

r ' 0 = 2

r ' 0 3 = 8

Já o numerador, vamos achar primeiro:

r ' ' 0 = sen ⁡ 0 , 2 cos ⁡ 0 - 0 ∙ sen ⁡ 0 , - e 0

r ' ' 0 = 0,2 , - 1

De forma que o produto vetorial será:

r ' 0 = - 1,0 , - 1

r ' ' 0 = 0,2 , - 1

r ' 0 × r ' ' 0 = i j k - 1 0 - 1 0 2 - 1

Calculando, achamos:

r ' 0 × r ' ' 0 = 0 ∙ - 1 ∙ i + 0 ∙ - 1 ∙ j + 2 ∙ - 1 ∙ k - 2 ∙ - 1 ∙ i + - 1 ∙ - 1 ∙ j + 0 ∙ 0 ∙ k

r ' 0 × r ' ' 0 = 0   i + 0   j - 2   k - - 2   i + 1   j + 0   k

r ' 0 × r ' ' 0 = 0   i + 0   j - 2   k + 2   i - 1   j - 0   k

r ' 0 × r ' ' 0 = 2   i - 1   j - 2   k

r ' 0 × r ' ' 0 = 2 , - 1 , - 2

E calculando o módulo:

r ' 0 × r ' ' 0 = 2 2 + - 1 2 + - 2 2

r ' 0 × r ' ' 0 = 4 + 1 + 4 = 9 = 3

Ufaaa! Acabou! A curvatura será:

k 0 = 3 8

Resposta

  1. r t = - sen ⁡ t , 1 + t ∙ sen ⁡ t , - e t
  2. r t a n t = - t , 1 , - t - 1
  3. k 0 = 3 8

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