Exercícios Resolvidos de Reta Tangente e Normal a Curva

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Enunciado

Encontre a equação da reta tangente da curva parametrizada por x t = 1 + ln ⁡ t e y t = t 2 + 2 no ponto ( 1 ,   3 ) . Faça a questão de duas maneiras: eliminando o parâmetro e sem eliminá-lo.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma curva paramétrica definida por x t = 1 + ln ⁡ t e y t = t 2 + 2 , no ponto ( 1 ,   3 ) . Nós precisamos encontrar a equação da reta tangente dessa curva sem eliminar o parâmetro e eliminando o parâmetro.

Bom, a regra da Cadeia nos diz que d y d t = d y d x ∙ d y d t . Se d x d t ≠ 0 , podemos isolar d y d x assim:

d y d x = d y / d t d x / d t  

Essa equação nos permite calcular a inclinação d y / d x da tangente para uma curva paramétrica sem ter que eliminar o parâmetro t .

Uma outra forma de fazer, seria isolar t na equação x t = 1 + ln ⁡ t e substituir em y para, em seguida, calcular a reta tangente d y d x da equação. Das duas formas nós vamos chegar a equação da reta tangente na forma:

y - y 0 = d y d x x - x 0

Onde x 0 ,   y 0 = ( 1 ,   3 ) . Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando sem eliminar o parâmetro t . Calculando d y / d t em y t = t 2 + 2 , temos:

d y d t = d d t t 2 + 2 = 2 t

Calculando d x / d t em x t = 1 + ln ⁡ t , temos:

d x d t = d d t 1 + ln ⁡ t = 1 t

Juntando tudo na expressão da reta tangente:

d y d x = d y / d t d x / d t  

d y d x = 2 t 1 t

Fazendo a divisão de frações:

d y d x = 2 t 2

Agora a gente precisa descobrir o valor do parâmetro t no ponto que tangencia ( 1 ,   3 ) . Para isso, basta igualar o ponto à parametrização da curva e resolver o sistema:

x t = 1 + ln ⁡ t = 1 y t = t 2 + 2 = 3

Da primeira equação tiramos t = 1 , substituindo no vetor tangente:

d y d x = 2 ( 1 ) 2 = 2

Assim, a equação da reta tangente fica:

y - y 0 = d y d x x - x 0

y - 3 = 2 ( x - 1 )

y = 2 x + 1

Passo 3

Agora vamos isolar t na equação x t = 1 + ln ⁡ t e substituir em y .

x = 1 + ln ⁡ t → x - 1 = ln ⁡ t

Aplicando a exponencial dos dois lados da equação, temos:

e x - 1 = e ln ⁡ t

e x - 1 = t

Vamos então substituir t na equação y t = t 2 + 2 :

y = e x - 1 2 + 2

y = e 2 x - 2 + 2

Derivando em relação a x , temos nossa reta tangente:

d y d x = 2 e 2 x - 2

No ponto que tangencia a curva em x = 1 , temos:

d y d x = 2 e 2 ( 1 ) - 2 = 2

Assim, a equação da reta tangente no ponto ( 1 ,   3 ) será:

y - y 0 = d y d x x - x 0

y - 3 = 2 ( x - 1 )

y = 2 x + 1

Repare que é o mesmo resultado que nós obtivemos no passo 2 .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

y = 2 x + 1

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