Exercícios Resolvidos de Reta Tangente e Normal a Curva

Ver Teoria

Enunciado

(Capítulo 13.2 – Exercício 4)

(a) Esboce o gráfico da curva plana com a equação vetorial dada.

(b) Encontre r’(t)

(c) Esboce o vetor posição r(t) e o vetor tangente r’(t) para o valor dado de t.

r t = < t 2 , t 3 >   ,   t = 1

Passo 1

Oieeee gente!!

Vamos lá, nesse exercício, temos uma curva r ( t ) , e aí queremos:

- Esboçar o gráfico dessa curva

- Encontrar a derivada da curva

- Esboçar o vetor da curva no valor dado de t , junto com o vetor tangente

Vamosss que vai ser tranquilíssimo, blz?

Passo 2

Passo 3

a) Temos a curva:

r t = t 2 , t ³

Podemos escrever isso como equações paramétricas, assim:

x = t ² y = t ³

Sabendo que x = t ² , temos

x = t 2

Manipulando a expressão:

x = t 3 2 3

x = y 2 3

Então podemos escrever

x = y 2 / 3

Então essa é a nossa curva:

Passo 4

b) Agora queremos derivar a curva r ( t ) . A derivada do vetor r é dada pela derivada de cada componente individualmente:

r t = t 2 , t ³

r ' t = ( 2 t , 3 t 2 )

Fechou?

Passo 5

c) O vetor posição r ( t ) em t = 1 é

r 1 = ( 1,1 )

Por outro lado, o vetor tangente em t = 1 , tem origem no ponto (1,1) e é dado por

r ' 1 = ( 2,3 )

Então, podemos representar esses vetores conforme mostrado na figura abaixo:

E fimmm

Resposta

a)

b) r ' t = ( 2 t , 3 t 2 )

c)

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a inclinação da reta tangente para a curva polar dada no ponto especificado pelo valor de θ . r = 1 + 2 c o s θ θ = π 3
Mostre que a equação da reta tangente à parábola y 2 = 4 p x no ponto x 0 , y 0 pode ser escrita como y 0 y = 2 p ( x + x 0 ) Onde essa reta tangente intercepta o eixo x ? Use esse fato para desenhar
Encontre d y / d x e d ² y / d x ² ² ². Para quais valores de t a curva é côncava para cima? x = t - l n t y = t + ln ⁡ t
Nos exercícios 9 a 20, determine os pontos nos quais a curva dada tem retas tangentes verticais e horizontais. Faça um esboço do gráfico e mostre essas retas tangentes14. r = 3 - 3 c o s θ
a) Encontre a inclinação da reta tangente à trocoide x = r θ - ds e nθ , y = r - d cos ⁡ θ em termos de θ .b) Mostre que, se dr , então a trocoide não tem uma tangente vertical.