Exercícios Resolvidos de Reta Tangente e Normal a Curva

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Enunciado

6. Determine as equações da reta tangente e da reta normal à curva 7 y 3 x 2 + y 2 x 3 - y x 4 - x - 6 = 0 no ponto 1 ,   1 .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema, estamos interessados em calcular a equação da reta tangente e da reta normal à equação 7 y 3 x 2 + y 2 x 3 - y x 4 - x - 6 = 0 em 1,1 .

Tem ideia de como fazemos isso? 🤔

Para calcular uma reta, precisamos apenas de um ponto pertencente a essa reta e do seu coeficiente angular.

Como sabemos, a derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em um ponto, ou seja, o coeficiente angular do plano tangente.

Porém não podemos derivar a equação explicitamente pois não conseguimos isolar o y .

Então vamos aplicar o método de derivada implícita.

Lembra como é? 😎

Passo 2

De maneira geral, a equação da reta tangente é dada por

y = d y d x x + C

Já da reta normal, terá um coeficiente angular inverso e oposto

y = - d x d y x + C

Derivando a equação implicitamente, temos

d y d x = - d 7 y 3 x 2 + y 2 x 3 - y x 4 - x - 6 d x d 7 y 3 x 2 + y 2 x 3 - y x 4 - x - 6 d y

Pelo método de derivação polinomial, temos

d y d x = - 14 x y 3 + 3 x 2 y 2 - 4 x 3 y - 1 21 x 2 y 2 + 2 x 3 y - x 4

Aplicando o ponto 1,1 ...

d y d x 1,1 = - 14 + 3 - 4 - 1 21 + 2 - 1

d y d x 1,1 = - 12 22

d y d x 1,1 = - 6 11

Substituindo na equação da reta tangente...

y t = d y d x x + C

y t = - 6 11 x + C

C é uma constante que é obtida aplicando o ponto 1,1 na equação da reta

1 = - 6 11 + C

C = 17 11

Portanto, a reta tangente a curva no ponto 1,1 é

y t = - 6 11 x + 17 11

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Agora vamos obter a reta normal a curva, e como vimos antes, o coeficiente angular é dado pelo oposto e inverso do coeficiente angular da reta tangente.

y n = - 1 - 6 11 x + C

y n = 11 6 x + C

Aplicando o ponto 1,1 nessa equação, temos

1 = 11 6 + C

C = - 5 6

Substituindo em y n

y n = 11 6 x - 5 6

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

y t = - 6 11 x + 17 11

y n = 11 6 x - 5 6

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