Exercícios Resolvidos de Reta Tangente e Normal a Curva

UFRJ, Calculo Diferencial e Integral 2, P1 2014.2, questão 1

Considere as duas superfícies dadas por 2 x + 2 y + z = 1 e x 2 + y 2 = 1 + z .

1. Esboce, separadamente, as duas superfícies, mostrando as curvas de interseção com os planos coordenados.

2. Parametrize a curva C obtida pela interseção das 2 superfícies.

3. Calcule a reta tangente a C no ponto p = 1 , - 1,1 .

4. Existe algum ponto de C no qual a reta tangente passe na origem? Justifique.

Passo 1

1.

Vamos focar na primeira superfície, beleza?

Ela é dada por

2 x + 2 y + z = 1

então temos algo do tipo

a x + b y + c z = d

portanto, essa superfície é um plano :)

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos ter que esboçar a figura, mostrando suas interseções com os planos coordenados. Então vamos pôr a mão na massa!

Vamos zerar uma a uma as coordenadas x , y e z e assim determinar como o nosso plano intercepta os planos y z , x z e x y , respectivamente. Vamos fazer um desenho e ir completando aos poucos, beleza? Então partiu!

Fazendo x = 0 vamos ter a reta

2 y + z = 1

z = 0 y = 1 2   e y = 0   z = 1

Então, no plano y z , a reta passa pelos pontos 0 , 1 2 , 0 e 0,0 , 1 .

Passo 3

Fazendo y = 0 temos a reta

2 x + z = 1

z = 0 x = 1 2   e x = 0   z = 1

Ou seja, a reta passa pelos pontos 1 2 , 0,0 e 0,0 , 1 .

Passo 4

Fazendo z = 0 temos:

2 x + 2 y = 1

x = 0 y = 1 2 e y = 0 x = 1 2

Então a reta passa pelos pontos 1 2 , 0,0 e 0 ,   1 2 , 0 . Vamos completar de novo o desenho:

Passo 5

Então esse triângulo daí é composto pelas retas de interseção do nosso plano com os planos coordenados Ele vai ser a base do esboço do plano:

Desse ângulo dá pra ter uma visão melhor:

Passo 6

Ainda temos a outra superfície!

A equação dela é:

x 2 + y 2 = 1 + z

Isolando o z fica:

z = x 2 + y 2 - 1

Identificamos uma superfície do tipo

z = ± x 2 a 2 ± y 2 b 2 + k

que nada mais é que a equação de um paraboloide!

  • Os dois sinais são iguais, então a superfície é um paraboloide elíptico.
  • Como a = b , vai ser mais precisamente um paraboloide circular.
  • Os sinais são positivos, então ele vai ser virado pra cima.
  • O valor mínimo de x 2 e y 2 é 0 , então o mínimo absoluto e vértice do paraboloide é no ponto 0,0 , 0 2 + 0 2 - 1 = 0,0 , - 1 .

Excelente! Já da pra ter uma boa noção da figura :D

Passo 7

Agora vamos determinar as curvas de interseção do paraboloide com os planos coordenados:

- No plano y z x = 0 , temos

z = y 2 - 1

que é uma parábola voltada para cima e com mínimo em 0,0 , - 1 .

- No plano x z y = 0 , a equação fica

z = x 2 - 1

que é exatamente a mesma parábola do item anterior, só passando do plano y z pro plano x z .

- No plano x y z = 0 , temos

x 2 + y 2 = 1

que é um círculo de raio 1 centrado em ( 0,0 , 0 ) .

Passo 8

Juntando tudo, obtemos o nosso paraboloide!

Beleza, podemos continuar!

Passo 9

2.

Agora temos que parametrizar a interseção das duas superfícies, que foi chamada de C . Vamos seguir o passo a passo pra esse tipo de questão:

  • Isolar uma variável de uma das equações
  • Substituir na equação da outra superfície
  • Parametrizar essa projeção da curva com as outras duas variáveis
  • Substituir essas parametrizações na terceira variável que foi isolada

Passo 10

Na equação do paraboloide, z já está isolado, então vamos usá-lo!

Substituindo na equação do plano, temos:

z = x 2 + y 2 - 1     e     2 x + 2 y + z = 1

2 x + 2 y + x 2 + y 2 - 1 = 1

x 2 + 2 x + y 2 + 2 y = 2

Completando quadrados:

x + 1 2 + y + 1 2 - 2 = 2

x + 1 2 + y + 1 2 = 4 = 2 2

E a equação de um círculo de centro a , b e raio r é:

x - a 2 + y - b 2 = r ²

Então a projeção de C no plano x y é o círculo de centro - 1 , - 1 e raio 2 , tranquilo?

Passo 11

Agora temos que parametrizar essa projeção. Como é um círculo, vamos usar algo do tipo x = A cos t + B e y = C sen t + D pra gente usar e abusar da relação: cos 2 t + sen 2 t = 1 .

Então vamos fazer isso:

x = A cos t + B     e     y = C sen t + D

  x + 1 2 + y + 1 2 = A cos t + B + 1 2 + C sen t + D + 1 2 = 4

Pra eliminarmos esse B + 1 e D + 1 , podemos escolher B = D = - 1 . Então vamos ter:

A cos t 2 + C sen t 2 = 4

Para ter algo multiplicando cos 2 t + sen 2 t podemos fazer A = C . Assim:

A cos t 2 + A sen t 2 = 4

A 2 cos 2 t + sen 2 t = 4

A 2 = 4

A = ± 2

Então, uma parametrização possível pra esse círculo é:

x ( t ) = 2 cos t - 1     e     y ( t ) = 2 sen t - 1

Passo 12

Show! Agora só falta substituir essa parametrização na variável z :

z = x 2 + y 2 - 1

z = 2 cos t - 1 2 + 2 sen t - 1 2 - 1

z = 4 cos 2 t - 4 cos t + 1 + 4 sen 2 t - 4 sen t + 1 - 1

z = 4 cos 2 t + sen 2 t - cos t - sen t + 1

z = 1 + 4 1 - cos t - sen t

z = 5 - 4 ( cos t + sen t )

Logo, uma parametrização de C é:

γ t = 2 cos t - 1 ,   2 sen t - 1 ,   5 - 4 cos t + sen t   ,     t [ 0,2 π ]

Passo 13

3.

Agora queremos a reta tangente a C no ponto p = 1 , - 1,1 . Beleza, precisamos descobrir em que t 0 temos γ t = ( 1 , - 1,1 ) :

γ t 0 = 2 cos t 0 - 1 ,   2 sen t 0 - 1 ,   5 - 4 cos t 0 + sen t 0

O que nos dá um sistema:

2 cos t 0 - 1 = 1   2 sen t 0 - 1 = - 1 5 - 4 cos t 0 + sen t 0 = 1

Pela primeira equação:

2 cos t 0 = 2

cos t 0 = 1

Como t 0 0,2 π :

t 0 = 0

Se quiser, você pode verificar que as outras equações são respeitadas :)

Passo 14

Pra achar a reta tangente em p , vamos precisar de γ ' ( t 0 ) . Então vamos começar calculando γ ' ( t ) :

γ t = 2 cos t - 1 ,   2 sen t - 1 ,   5 - 4 cos t + sen t

γ ' t = 2 . - sen t - 0,2 cos t - 0 ,   0 - 4 - sen t + cos t

γ ' t = - 2 sen t , 2 cos t ,   - 4 - sen t + cos t

Então em t 0 temos:

γ ' t 0 = 0 ,   2 , -   4 0 + 1 = ( 0 ,   2 , -   4 )

Logo, uma parametrização da reta tangente a C em p é:

r t = 1 , - 1 ,   1 + t 0,2 , - 4 ( 1 ,   2 t - 1 ,   - 4 t + 1 )

Passo 15

4.

Enfim, pra finalizar essa pergunta gigante, ele nos pergunta se existe um ponto de C onde a reta tangente passa na origem.

Na verdade, vai ser até simples de responder.

Vejamos, por definição a curva C está contida no plano 2 x + 2 y + z = 1 . Então qualquer reta tangente a um ponto de C deve estar contida no plano! Ele é 2D, a reta tangente não pode simplesmente sair por aí!

E como a origem não está no plano, nenhuma reta tangente de C pode passar nela!

Então é isso, fechamos a questão! (Aleluia!!)

Resposta

1.

2.

γ t = 2 cos t - 1 ,   2 sen t - 1 ,   5 - 4 cos t + sen t   ,     t [ 0,2 π ]

3.

r t = 1 , - 1 ,   1 + t 0,2 , - 4

4.

Não.

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