Exercícios Resolvidos de Reta Tangente e Normal a Curva

Apostila aprendendo cálculo de várias variáveis, Professor Waldecir Bianchini, exemplo 3.8

Determinar as equações paramétricas da reta tangente à elipse:

x 2 9 + y 2 4 = 1

no ponto:

T = 3 2 2 ,   2

Passo 1

Neste caso, não temos a curva parametrizada, então precisamos parametrizar a elipse:

x 2 9 + y 2 4 = 1

x 3 2 + y 2 2 = 1

Então:

x 3 = cos t x = 3 cos t

y 2 = sen t y = 2 sen t

Então nossa curva fica assim:

σ t = 3 cos t , 2 sen t

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Encontrar t 0 correspondente ao ponto σ ( t 0 ) ou vice-versa:

T = 3 2 2 ,   2

Neste caso, o problema deu o ponto, então devemos encontrar t 0 :

σ t 0 = T

3 cos t 0 , 2 sen t 0 = 3 2 2 ,   2

Igualando as duas coordenadas:

cos t 0 = 2 2

sen t 0 = 2 2

Como só tem funções trigonométricas na curva parametrizada, nem precisamos determinar o valor de t 0 , basta saber os valores do seno e cosseno!

Passo 3

Calcular σ ' ( t ) :

σ t = 3 cos t , 2 sen t

σ ' t = - 3 sen t , 2 cos t

Passo 4

Calcular σ ' t 0 :

σ ' t 0 = - 3 sen t 0 , 2 cos t 0

σ ' t 0 = - 3 × 2 2 ,   2 × 2 2

σ ' t 0 = - 3 2 2 ,   2

Passo 5

Reta tangente:

Substituir em r t = σ t 0 + σ ' t 0 t :

r t = σ t 0 + σ ' t 0 t

r t = 3 2 2 ,   2 + - 3 2 2 ,   2 t

r t = 3 2 2 - 3 2 2 t ,   2 + 2 t

r t = 3 2 2 1 - t ,   2 1 + t

Resposta

r t = 3 2 2 1 - t ,   2 1 + t

t R

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