Exercícios Resolvidos de Reta Tangente e Normal a Curva

UERJ, Análise Vetoria, Lista Profª Joice, questão 5b

Encontre a equação paramétrica da reta normal à curva

γ t = ( 2 cos t ,   1 + 2 sin t )

no ponto 3 , 2 .

Passo 1

Para encontrar a equação da reta normal, precisamos primeiro do vetor tangente, porque é o mais proximo que conseguimos com as informações que o enunciado nos deu.

Comecemos por encontrar qual é o valor do parâmetro para o ponto dado. Para, isso, basta igualar o ponto a equação da reta

3 , 2 = ( 2 cos t ,   1 + 2 sin t )

1 + 2 sin t = 2

2 sin t   = 1

sin t = 1 2 t = π 6

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Passo 2

Agora, vamos derivar a equação para descobrir o vetor tangente

γ t = ( 2 cos t ,   1 + 2 sin t )

γ ' t = ( - 2 sin t ,   2 cos t )

Para derivar uma equação paramétrica, basta derivar cada um de seus componentes!

Passo 3

Agora colocamos o valor do parâmetro, calculado no passo 1, na equação da derivada e achar quais são as componentes do nosso vetor tangente

γ ' t = ( - 2 sin t ,   2 cos t )

γ ' π 6 = ( - 2 sin π 6 ,   2 cos π 6 )

γ ' π 6 = - 1 ,   3

Passo 4

Agora que temos o vetor tangente, podemos encontrar facilmente o vetor normal. Para isso basta saber que qualquer vetor pode ser obtido pela diferença entre dois pontos!

Sabemos que o vetor normal v n passa pelo ponto 3 , 2 , logo, podemos subtrair este ponto de um outro genérico ( x , y ) , que ainda vamos descobrir. Então, nosso vetor normal fica

x - 3 , y - 2

Viu como é simples??

Passo 5

Como o vetor tangente é perpendicular ao vetor normal, e o produto escalar entre vetores perpendiculares é 0, agora podemos matar a questão!!

v t   .   v n = 0

- 1 ,   3   .   x - 3 , y - 2 = 0

3 - x + 3 y - 2 3 = 0

y = x 3 3 + 1

Encontramos uma reta na qual o nosso vetor está contido!! Agora é só escolher um ponto dela e fazer a subtração do ponto 3 , 2 para encontrar o vetor!!

Passo 6

É muito conveniente escolher um ponto onde uma das coordenadas seja 0, apenas pra fazer menos conta mesmo. Veja, quando temos x = 0 ....

y = x 3 3 + 1

y = 0 . 3 3 + 1 y = 1

Ou seja, o ponto ( 0,1 ) está sobre a reta e pode ser um dos extremos do nosso vetor.

Passo 7

Fazendo agora o vetor, basta subtrair o ponto encontrado no passo anterior ( 0,1 ) do nosso ponto da curva 3 , 2 .

Temos então que:

v n = 0 - 3 , 1 - 2 = ( - 3 , - 2 )

Mas, pra não ficar levando esse sinal de menos por resto, vamos multiplicar esse vetor por - 1 : assim, alteramos o sentido, mas não a direção do vetor, que é o que importa! Então,

v n = ( 3 , 1 )

Passo 8

Usando a fórmula da reta para quando temos um ponto e um vetor, conseguimos, agora, parametrizar a reta normal à curva!

r t = P + v t . t  

r t = ( 3 t + 3 ,   t + 2 )

Resposta

Encontramos, então, a reta

r t = ( 3 t + 3 ,   t + 2 )

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