Exercícios Resolvidos de Reta Tangente e Normal a Curva

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Enunciado

Uma parametrização da reta tangente à curva espacial definida por

γ t = sen ⁡ t ,   t 2 e - t , 4 3 + e t   ,   t ∈ R

No ponto P = ( 0,0 , 8 ) é:

  1. σ t = t , 0,8 + t ,   t ∈ R
  2. σ t = t , 0 , t ,   t ∈ R
  3. σ t = 0,0 , 8 + t ,   t ∈ R
  4. σ t = 1,0 , 1 + 8 t ,   t ∈ R
  5. Não existe reta tangente passando por P .

Passo 1

Vamos começar encontrando o vetor diretor da reta tangente, que é só derivar a curva:

γ t = sen ⁡ t ,   t 2 e - t , 4 3 + e t

γ ' t = cos ⁡ t , 2 t e - t - t 2 e - t , 4 2 3 + e t e t

γ ' t = cos ⁡ t , 2 t e - t - t 2 e - t , 2 e t 3 + e t

Passo 2

Agora precisamos descobrir qual o valor de t correspondente ao ponto P = ( 0,0 , 8 ) .

Para isso basta igualar as componentes da curva às componentes do ponto, assim:

γ t = sen ⁡ t ,   t 2 e - t , 4 3 + e t = ( 0,0 , 8 )

sen ⁡ t = 0

t 2 e - t = 0

4 3 + e t = 8

Da primeira equação tiramos que

t = 0

Substituindo nas outras equações, vemos que atende, logo, o valor de t correspondente ao ponto de tangencia é t = 0 .

Passo 3

Substituindo agora t = 0 no vetor tangente:

γ ' t = cos ⁡ t , 2 t e - t - t 2 e - t , 2 e t 3 + e t

γ ' 0 = cos ⁡ 0 , 2 . 0 e - 0 - 0 2 e - 0 , 2 e 0 3 + e 0

γ ' 0 = 1 , 0 , 1

A equação da reta tangente fica então

r t = γ 0 + γ ' 0 t

r t = ( 0,0 , 8 ) + ( 1,0 , 1 ) t

r t = t , 0,8 + t ,   t ∈ R

Resposta

Letra a

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