Exercícios Resolvidos de Teorema de Bayes

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Enunciado

Numa certa região, a probabilidade de chuva em um dia qualquer de primavera é de 0,1. Um meteorologista da TV acerta suas previsões em 80 % dos dias em que chove e em 90% dos dias em que não chove.

a. Qual é a probabilidade do meteorologista acertar sua previsão?

b. Se houve acerto na previsão feita, qual a probabilidade de ter sido um dia de

chuva?

Passo 1

(a)

Definir os eventos:

C : t e r   c h u v a

M : m e t e o r o l o g i s t a   a c e r t a r   a   p r e v i s ã o

E anotas as probabilidades dadas no problema:

Probabilidade de chuva,

P C = 0,1

Probabilidade do meteorogista acertar dado que teve chuva,

P M C = 0,8

Probabilidade do meteorologista acertar dado que não choveu,

P M C c = 0,9

Passo 2

Queremos a probabilidade total de ele acertar a previsão, tendo chuva ou não, ou seja:

P M =   ?

Vamos usar o que então ? Adivinha!

O teorema da prob. Total.

P M = P M C . P C + P M C c . P ( C c )

Passo 3

Antes de substituirmos os valores, precisamos lembrar que:

P C c = 1 - P C

P C c = 0,9

Onde P C c é a probabilidade de não chover.

Passo 4

Agora só substituir:

P M = 0,8 × 0,1 + 0,9 × 0,9

P M = 0,89

Ou seja, a probabilidade total de acerto da previsão é de 89%.

Passo 5

(b)

Precisamos calcular a probabilidade de ter sido um dia de chuva sabendo que o meteorologista acertou a previsão.

P C M =   ?

Ou seja, precisamos dizer a probabilidade de alguma coisa ter acontecido, sabendo uma evidência futura.

Para isso, usaremos o teorema de Bayes.

P C M = P M C . P C P M

Passo 6

Já possuímos todas os valores que precisamos, pois calculamos P ( M ) anteriormente.

Basta substituir então.

P C M = 0,8 × 0,1 0,89 ≅ 0,089

Resposta

a   0,89   o u   89 %

b   0,089   o u   8,9 %

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