Exercícios Resolvidos de Teorema de Bayes

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Enunciado

Uma empresa de desenvolvimento urbano considera a possibilidade de construir um shopping center num setor no Rio de Janeiro. Um elemento vital é uma proposta em um setor com estrada que liga ao centro da cidade.

Se o Conselho aprovar essa rodovia, há probabilidade de 0,94 de a empresa construir o shopping, enquanto, se a rodovia não for aprovada a probabilidade é de apenas 0,32 . Com base em informações disponíveis, o presidente da empresa estima uma chance de 0,75 de que a estrada seja aprovada.

Pergunta-se:

a) Qual é a probabilidade de a empresa construir o shopping? Mostre o evento correspondente através do Diagrama de Venn (partição do espaço amostral).

b) Uma vez que o shopping foi construído, qual é a probabilidade de que a rodovia não seja aprovada?

Passo 1

Pronto para uma questão sobre probabilidade condicional e teorema de Bayes? Bora que o RespondeAí vai te ajudar!

Antes de discutir o enunciado com você, deixa eu te lembrar a definição de probabilidade condicional. Vamos considerar dois eventos A e B . A probabilidade de A acontecer dado que B aconteceu é

P A B = P A   e   B P B

Ou seja, a probabilidade condicional de A acontecer dado que B aconteceu é a probabilidade de ambos os eventos acontecerem sobre a probabilidade do evento B acontecer.

Feita essa consideração, vamos o problema: se a rodovia for construída, a probabilidade de o shopping ser construído é 0,94 . Por outro lado, se a rodovia não for construída, a probabilidade de o shopping ser aprovado cai para 0,32 . Já a probabilidade de a rodovia ser construída é 0,75 .

O problema quer saber qual a probabilidade de o shopping ser construído. Como resolver esse problema? Vou escrever um negócio, pensa aí e vê se você concorda:

P s h o p p i n g = P ( s h o p .     e   e s t r a d a ) + P ( s h o p .     e   s e m   e s t r a d a )

A probabilidade de o shopping ser construído é a probabilidade de o shopping ser construído junto com a estrada somada a probabilidade de o shopping ser construído sem a estrada.

Passo 2

O enunciado forneceu para gente as probabilidades condicionais:

P s h o p .     e s t r a d a ) = 0,94

P s h o p .     s e m   e s t r a d a ) = 0,32

Usando a definição de probabilidade condicional que eu mostrei no passo 1:

P s h o p .     e   e s t r a d a = P s h o p .     e s t r a d a ) ⋅ P e s t r a d a

P s h o p .     e   s e m   e s t r a d a = P s h o p .     s e m   e s t r a d a ) ⋅ P s e m   e s t r a d a

Mas o problema também forneceu que a probabilidade de a estrada ser construída é P e s t r a d a = 0,75 , de modo que

P s e m   e s t r a d a = 1 - 0,75 = 0,25

Com isso, temos

P s h o p .     e   e s t r a d a = 0,94 ⋅ 0,75 = 0,705

P s h o p .     e   s e m   e s t r a d a = 0,32 ⋅ 0,25 = 0,08

Somando as duas:

P s h o p p i n g = 0,705 + 0,08

Desta forma, a probabilidade de o shopping ser construído é

P s h o p p i n g = 0,785

Passo 3

Apresento para você o Diagrama de Venn da situação:

Dentro da região vermelha temos a situação em que o shopping é construído: probabilidade 0,705 de haver shopping e estrada e probabilidade 0,08 de haver o shopping sem haver a estrada.

Como a probabilidade de haver a estrada é 0,75 , a probabilidade de haver a estrada sem o shopping é 0,75 - 0,705 = 0,045 . Além disso, como a probabilidade de não haver estrada é 0,25 , a chance de não haver nem shopping nem estrada é 0,25 - 0,08 = 0,17 . Esses casos são representados fora da região vermelha.

Passo 4

Partiu item (b)!!!

A pergunta é: Uma vez que o shopping foi construído, qual é a probabilidade de que a rodovia não seja aprovada?

Isso é uma probabilidade condicional:

P s e m   e s t r a d a     c o m   s h o p p i n g ) =   ?

Aqui vamos precisar do teorema de Bayes:

P A B = P B A   P ( A ) P B

A ideia é a seguinte, sabemos a probabilidade condicional P c o m   s h o p .     s e m   e s t r a d a ) = 0,32 e queremos P s e m   e s t r a d a     c o m   s h o p p i n g ) . Para inverter as relações, usamos o teorema de Bayes:

P s e m   e s t r a d a     c o m   s h o p p i n g ) = P c o m   s h o p .     s e m   e s t r a d a )   P ( s e m   e s t r a d a ) P ( s h o p p i n g )

Sabemos que P s e m   e s t r a d a = 0,25 e P s h o p p i n g = 0,785 , de modo que

P s e m   e s t r a d a     c o m   s h o p p i n g ) = 0,32 ⋅ 0,25 0,785

Portanto,

P s e m   e s t r a d a     c o m   s h o p p i n g ) = 0,1019

Essa é a resposta do item (b) 😉.

Resposta

P s h o p p i n g = 0,785

P s e m   e s t r a d a     c o m   s h o p p i n g ) = 0,1019

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