Exercícios Resolvidos de Teorema de Bayes

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Enunciado

João dispõe de dois meios de transporte para se deslocar da cidade A para a cidade B. Caso utilize o meio de transporte nº1, João chegará atrasado em 70 % das vezes; se utilizar o transporte nº2 chegará atrasado em 40 % das vezes (suponha que as chances de João utilizar os meios sejam: 2 / 3 para o nº1 e 1 / 3 para o nº2). Se João chegou atrasado num compromisso na cidade B , qual a probabilidade de ter utilizado o transporte nº1 ?

Passo 1

João tem dois jeitos de ir até a cidade B , com probabilidades diferentes de chegar atrasado em seu compromisso.

A probabilidade de chegar atrasado se escolher o primeiro meio de transporte é:

P 1 = 2 3

Pro segundo, fica sendo:

P 2 = 1 3

A gente já conhece também a probabilidade dele chegar atrasado caso escolha cada um dos caminhos:

P A 1 = 0,70

P A 2 = 0,40

Passo 2

A gente precisa calcular a probabilidade dele ter usado o transporte 1 sabendo que ele chegou atrasado:

P 1 A =   ?

Onde A = chegar atrasado.

Tá, isso tem cara de teorema de Bayes, concorda? Você tem que dizer a probabilidade de ter acontecido uma coisa (escolhido 1), já sabendo o que acontece no final (chegou atrasado).

P 1 A = P 1 × P A 1 P A

Falta a gente descobrir a probabilidade total dele chegar atrasado, P ( A ) .

Passo 3

Vamos calcular P ( A ) , utilizando o teorema da probabilidade total, considerando a chance dele chegar atrasado escolhendo o caminho 1 e a chance dele chegar atrasado escolhendo o 2.

P A = P A 1 × P 1 + P A 2 × P 2

= 0,70 × 2 3 + 0,40 × 1 3

= 14 30 + 4 30 = 18 30

P A = 3 5

Passo 4

Agora a gente já pode calcular o que queremos

P 1 A = 0,70 × 2 3 3 5

= 14 30 × 5 3 = 14 18

P 1 A = 7 9

Resposta

P 1 A = 7 9

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