Exercícios Resolvidos de Teorema de Bayes

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Enunciado

Uma revista deseja estudar o comportamento do mercado brasileiro especificamente para clientes interessados em carros japoneses das marcas T Toyota), H (Honda) e N (Nissan). A compra do primeiro carro é feita com as probabilidades P T 1 = 0,40 ; P H 1 = 0,40 e P N 1 = 0,20 . Um estudo sobre os hábitos de mudança de marca por parte dos usuários mostrou o seguinte quadro de probabilidades condicionais que prevalece em qualquer momento no qual um usuário típico adquire um novo automóvel:

Por exemplo, T i + 1   |   T i representa mudança de um carro da marca Toyota no momento i para outro carro Toyota no momento i + 1 . Sendo assim, olhando na tabela, temos por exemplo P T i + 1   |   T i = 0,70 , P N i + 1   |   H i = 0,15 e P N i + 1   |   N i = 0,40 para todo i ∈ N .

Quais são as probabilidades de que, para um tal cliente:

a) O segundo automóvel seja um Toyota, ou seja P T 2 ? De que seja Honda, ou seja, P H 2 ? De que seja Nissan, ou seja, P N 2 ?

b) O terceiro automóvel seja um Toyota, ou seja, P T 3 ?

c) O primeiro automóvel tenha sido um Toyota, dado que o segundo também foi da marca Toyota, isto é, P T 1   |   T 2 ?

Passo 1

Fala galerinha, beleza? Bora resolver uma questão de prova!

O primeiro passo desse problema é extrair tudo que for possível da tabela! Pelo que foi apresentado no texto:

P T i + 1   |   T i = 0,70                         P H i + 1   |   T i = 0,15                         P N i + 1   |   T i = 0,15

P T i + 1   |   H i = 0,35                         P H i + 1   |   H i = 0,50                         P N i + 1   |   H i = 0,15

P T i + 1   |   N i = 0,30                         P H i + 1   |   N i = 0,30                         P N i + 1   |   N i = 0,40

Essa são as probabilidades de transição, que nada mais são do que probabilidade condicionais. Se você já ouviu falar de cadeias de Markov, esse problema é exatamente sobre isso. Se você nunca ouviu falar disso, esquece isso que dá pra resolver o problema tranquilo também!

Para calcular a probabilidade do segundo carro ser da Toyota, basta considerar três casos: o primeiro é da Toyota e ocorre a transição de Toyota para Toyota, o primeiro é da Honda e ocorre a transição de Honda para Toyota, ou ainda, o primeiro é da Nissan e ocorre a transição de Nissan para Toyota. Para a probabilidade do segundo carro ser Nissan ou Honda, basta fazer as modificações nas transições que chegamos lá!

Com isso, podemos escrever:

P T 2 = P T 2   |   T 1   P T 1 + P T 2   |   H 1   P H 1 + P T 2   |   N 1   P N 1

P H 2 = P H 2   |   T 1   P T 1 + P H 2   |   H 1   P H 1 + P H 2   |   N 1   P N 1

P N 2 = P N 2   |   T 1   P T 1 + P N 2   |   H 1   P H 1 + P N 2   |   N 1   P N 1

Já sabemos que P T 1 = 0,40 , P H 1 = 0,40 , P N 1 = 0,20 e as probabilidades de transição. Agora é só fazer conta. Mas eu quero discutir com vocês uma outra coisa muito legal! Se você não quiser ler o resto desse passo, sem problemas, pule pro passo 2.

Observe que a estrutura das equações acima lembra totalmente um produto de matrizes:

P T 2 P H 2 P N 2 = P T 2   |   T 1 P T 2   |   H 1 P T 2   |   N 1 P H 2   |   T 1 P H 2   |   H 1 P H 2   |   N 1 P N 2   |   T 1 P N 2   |   H 1 P N 2   |   N 1 P T 1 P H 1 P N 1

Repare que a matriz do meio é a matriz transposta da tabela, de modo que podemos escrevê-la como

P T 2   |   T 1 P T 2   |   H 1 P T 2   |   N 1 P H 2   |   T 1 P H 2   |   H 1 P H 2   |   N 1 P N 2   |   T 1 P N 2   |   H 1 P N 2   |   N 1 = 0,70 0,35 0,30 0,15 0,50 0,30 0,15 0,15 0,40

Com isso, podemos sempre escrever:

P T i + 1 P H i + 1 P N i + 1 = 0,70 0,35 0,30 0,15 0,50 0,30 0,15 0,15 0,40 P T i P H i P N i

Essa estrutura é típica das cadeias de Markov!

Passo 2

Usando as equações encontradas no passo anterior ou o produto de matriz, chegamos em

P T 2 P H 2 P N 2 = 0,70 0,35 0,30 0,15 0,50 0,30 0,15 0,15 0,40 0,40 0,40 0,20

Assim,

P T 2 P H 2 P N 2 = 0,70 ⋅ 0,40 + 0,35 ⋅ 0,40 + 0,30 ⋅ 0,20 0,15 ⋅ 0,4 + 0,50 ⋅ 0,40 + 0,30 ⋅ 0,20 0,15 ⋅ 0,40 + 0,15 ⋅ 0,40 + 0,40 ⋅ 0,20 = 0,48 0,32 0,20

Repare como o produto de matrizes é conveniente para gente fazer todas as contas de uma vez só!

P T 2 = 0,48                       P H 2 = 0,32                     P N 2 = 0,20

Passo 3

No item (b), queremos P T 3 . Para isso, basta escrever

P T 3 = P T 3   |   T 2   P T 2 + P T 3   |   H 2   P H 2 + P T 3   |   N 2   P N 2

Assim,

P T 3 = 0,70 ⋅ 0,48 + 0,35 ⋅ 0,32 + 0,30 ⋅ 0,20

Com isso,

P T 3 = 0,508

Se a gente quisesse achar P H 3 e P N 3 , bastaria usar o produto de matrizes novamente:

P T 3 P H 3 P N 3 = 0,70 0,35 0,30 0,15 0,50 0,30 0,15 0,15 0,40 P T 2 P H 2 P N 2

Passo 4

No item (c), queremos achar P T 1   |   T 2 . Para isso, usamos o teorema de Bayes:

P A   |   B = P B   |   A ⋅ P A P B

Com isso, você pode escrever

P T 1   |   T 2 = P T 2   |   T 1 ⋅ P T 1 P T 2

Como P T 2   |   T 1 = 0,70 , P T 1 = 0,40 e P T 2 = 0,48 , temos que

P T 1   |   T 2 = 0,70 ⋅ 0,40 0,48

Portanto,

P T 1   |   T 2 = 0,583

Isso finaliza o problema!

Resposta

P T 2 = 0,48                       P H 2 = 0,32                     P N 2 = 0,20

P T 3 = 0,508

P T 1   |   T 2 = 0,583

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