Exercícios Resolvidos de Teorema de Bayes

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Enunciado

Um engenheiro apresentou orçamentos separados para a execução de uma obra num prédio em construção. O primeiro orçamento foi feito para a parte elétrica do prédio e o segundo orçamento foi feito levando em consideração a parte de encanamento do edifício. O engenheiro acha que a probabilidade de ganhar a concorrência da parte elétrica é de 1 / 2 . Caso ele ganhe a parte elétrica, a chance de ganhar a parte de encanamento é de 3 / 4 ; caso contrário, essa probabilidade é de 1 / 3 . O engenheiro gostaria de saber qual a probabilidade:

(a) de ganhar o contrato referente à parte de encanamento;

(b) de ganhar os dois contratos;

(c) de ganhar apenas um contrato;

(d) condicional de ganhar o contrato da parte elétrica, dado que já ganhou o da parte de encanamento.

Passo 1

Primeiro vamos organizar as informações dadas. Para isso, vamos nomear dois eventos:

E L :     g a n h a r   n a   p a r t e   e l é t r i c a

E N :     g a n h a r   n a   p a r t e   d e   e n c a n a m e n t o

Sabemos que:

P E L = 1 2

E também é dito que a probabilidade de ganhar a parte de encanamento, dado que ele ganhou a elétrica é de 3 / 4 , então:

P E N E L = 3 4

E caso contrário, ou seja, a probabilidade de ganhar a parte de encanamento, dado que ele perdeu a elétrica é de 1 / 3 , então:

P E N E L C = 1 3

a)

Queremos P ( E N ) e temos todas as condicionais ligadas a E N , então usamos o teorema da probabilidade total:

P E N = P E L . P E N E L + P E L C . P ( E N | E L C )

Como P ( E L c ) é complementar a P ( E L ) e P E L = 1 2 → P E L C = 1 - 1 2 = 1 2 . Substituindo os valores:

P E N = 1 2 . 3 4 + 1 2 . 1 3 = 13 24

Passo 2

b)

Agora queremos probabilidade de ganhar os dois contratos, ou seja, estamos numa interseção de eventos:

P ( E L ∩ E C )

Que ocorre quando P ( E L ) e P ( E N | E L ) acontecem ao mesmo tempo, então basta multiplicarmos esses caras:

P E L ∩ E C = P E L . P E N E L = 1 2 . 3 4 = 3 8 = 0,375

Passo 3

c)

Ganhar apenas um contrato pode ser ganhar só a parte elétrica e perder a de encanamento...

P ( E L ∩ E N C )

Ou ganhar a de encanamento e perder a elétrica:

P ( E L C ∩ E L )

Então queremos a união (OU) dessas duas probabilidades:

P ( E L ∩ E N C ) ∪ P ( E L C ∩ E N )

Substituindo as interseções por multiplicações e a união por uma soma...

P E L ∩ E N C ∪ P E L C ∩ E N = P E L . P E N C E L + P E L C . P ( E N | E L C )

Como P E N C E L é complementar a P E N E L e P E N E L = 3 4 → P E N C E L = 1 - 3 4 = 1 / 4 . Substituindo todos os valores:

P E L ∩ E N C ∪ P E L C ∩ E N = 1 2 . 1 4 + 1 2 . 1 3 = 7 24 = 0,292

Passo 4

d)

Agora queremos:

P ( E L | E N )

Temos que “voltar” no tempo para saber essa, concorda comigo? Então usamos o Teorema de Bayes! Aplicando a fórmula:

P E L E N = P ( E L ∩ E N ) P ( E N ) = P E L . P ( E N | E L ) P ( E N ) = 1 2 . 3 4 13 24 = 9 13 = 0,692

Resposta

a)

13 24

b)

0,375

c)

0,292

d)

0,692

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