Exercícios Resolvidos de Teorema de Bayes

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Enunciado

Uma urna contém 3 moedas onde uma tem duas caras, outra é uma moeda justa, e a terceira é uma moeda viciada com probabilidade de cara igual a 0,75. Uma moeda é selecionada aleatoriamente da urna e lançada uma vez, tendo se observado o resultado cara. Qual a probabilidade da moeda escolhida ter duas caras?

Passo 1

Hmmm... Temos um evento que já aconteceu (o lançamento de uma moeda e seu resultado cara), e queremos “voltar no tempo” e descobrir se essa moeda lançada foi a moeda que tinha duas caras. Isso tá com cara de que mesmo? Teorema de Bayes!

Lembrando a fórmula dele:

P A B = P ( B | A ) × P ( A ) P ( B )

Mas antes de aplicar valor nessa fórmula, bora organizar a notação dos eventos que vamos usar nessa resolução:

M 2 K :   M o e d a   l a n ç a d a   s e r   a   c o m   2   c a r a s

M J : M o e d a   l a n ç a d a   s e r   a   j u s t a

M V : M o e d a   l a n ç a d a   s e r   a   v i c i a d a

K :   S a i r   u m a   c a r a   n o   l a n ç a m e n t o

Então o que a questão tá pedindo pra gente é:

P ( M 2 K | K )

A probabilidade de a moeda lançada ter sido a com duas caras, sabendo que o resultado do lançamento foi cara! Aplicando isso aí na fórmula do Teorema de Bayes:

P M 2 K K = P ( K | M 2 K ) × P ( M 2 K ) P ( K )

Vamos precisar descobrir quem são essas probabilidades aí na fração pra descobrir nossa condicional de interesse então. Vem comigo!

Passo 2

Passo 3

Começando por:

P ( K | M 2 K )

Que nada mais é que a probabilidade de termos cara como resultado, dado que a moeda lançada é a moeda com duas caras. Opa! Se só tem cara na moeda, a probabilidade de sair uma cara dela é de 100%, certo? Então:

P K M 2 K = 1

E essa probabilidade aqui?

P M 2 K

A probabilidade de a moeda lançada ser a com duas caras. Como temos 3 moedas, a moeda com duas caras é 1 em um total de 3, ou seja:

P M 2 K = 1 3

E a probabilidade de termos cara como resultado?

P ( K )

Reparem que é a probabilidade de qualquer cara acontecer, ou seja, a cara pode ser proveniente de qualquer uma das 3 moedas! Vamos fazer um diagrama pra enxergar melhor como calcular isso:

E vamos completar as linhas pretas desse diagrama com a probabilidade do evento que está ao final dessa linha acontecer, assim ó:

Tranquilin? Lembrando que essas probabilidades em verde são as condicionais!

  • Cada moeda tem 1 / 3 de chance de ser escolhida
  • Moeda com duas caras tem 100% de chance de dar cara
  • Moeda justa tem 50% de chance pra cada lado
  • Moeda viciada tem 75% de chance de dar cara, e 25% de chance de dar coroa

Agora, para calcular a probabilidade de obtermos uma cara, independente de qual moeda foi escolhida, vamos fazer:

P K = P M 2 K × P K M 2 K + P M J × P K M J + P ( M V ) × P ( K | M V )

E olhando pro nosso diagrama, podemos substituir essa galera pelos seus respectivos valores:

P K = 1 3 × 1 + 1 3 × 0,5 + 1 3 × 0,75 = 0,75

Passo 4

E finalmente, podemos substituir todas as probabilidades calculadas na fórmula do Teorema de Bayes:

P M 2 K K = P ( K | M 2 K ) × P ( M 2 K ) P ( K )

P M 2 K K = 1 × 1 / 3 0,75 = 0,4444

Resposta

0,4444

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