Exercícios Resolvidos de Teorema de Bayes

UFRJ-P1-2015.1

Sabe-se que 2 / 3 dos minérios de uma pequena região encontram-se em localidades de difícil acesso. Nas localidades mais acessíveis (que não são de difícil acesso), apenas 10 % dos minérios tem valor comercial. Nas localidades de difícil acesso, pesquisadores estimam que 20 % dos minérios tenham valor de comércio.

  1. Qual é o percentual de minérios com algum valor comercial em toda a região, considerando como correta a estimativa dos pesquisadores?
  2. Qual é a probabilidade de que um minério sorteado ao acaso tenha vindo de uma localidade de difícil acesso dado que é um minério com valor comercial?
  3. Desconsiderando a estimativa dos pesquisadores, qual deve ser a real proporção de minérios com valor comercial nas localidades de difícil acesso para que a dificuldade de acesso e o valor comercial do minério sejam independentes do ponto de vista probabilístico.

Passo 1

(a)

O exercício fala da presença de minérios em regiões e seu valor comercial, diz a proporção de minérios em cada tipo de região (fácil ou difícil acesso) e diz qual a porcentagem do minério presente em cada uma das regiões que possui valor comercial.

Bom, vou chamar de

D m i n é r i o   p r e s e n t e   e m   r e g i ã o   d e   d i f í c i l   a c e s s o

Pela lógica:

D c m i n é r i o   p r e s e n t e   e m   r e g i ã o   d e   f á c i l   a c e s s o

O exercício diz a proporção de minério presente em regiões de difícil acesso:

P D = 2 3

Com isso:

P D c = 1 - P D = 1 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Outro dado que o exercício dá são as probabilidades condicionais do minério ter valor comercial dado que ele está em região de difícil acesso P C D , ou dado que ele está em região de fácil acesso P C D c .

C m i n é r i o   t e r   v a l o r   c o m e r c i a l

As probabilidades são:

P C D = 20 %

P C D c = 10 %

Passo 3

Nesse item temos que calcular o percentual de minério com valor comercial em toda região, independente de ser de fácil ou difícil acesso.

Isso quer dizer que a gente tem que calcular a probabilidade total do minério ter valor comercial, considerando os que estão em zona de fácil acesso e os que estão em zona de difícil acesso.

Lembra da fórmula:

P C p r o b .   t o t a l   d o   m i n é r i o   t e r   v a l o r   c o m e r c i a l

P C = P C D × P D + P C D c × P D c

= 0,20 × 2 3 + 0,10 × 1 3

= 4 30 + 1 30 = 5 30

P C = 1 6 0,1667

Logo, o percentual será de aproximadamente 16,67 %

Passo 4

(b)

Agora a gente tem que dar a probabilidade do minério ter vindo de uma região de difícil acesso dado que ele possui valor comercial. A gente já sabe que ele tem valor comercial, a gente quer saber agora de onde ele veio. Adivinha? Bayes!

A gente precisa calcular:

P D C =   ?

Pela fórmula:

P D C = P C D × P D P C

Já temos todos os valores, só substituir:

P D C = 0,20 × 2 3 1 6

= 4 30 1 6

P D C = 4 5 = 0,8

Passo 5

(c)

Pesquisadores estimaram que nas localidades de difícil acesso a probabilidade de que o minério tenha valor comercial era de 20 % . Agora temos que ter a proporção real de minérios com valor comercial nas regiões de difícil acesso para que a dificuldade do acesso não altere o valor comercial do minério.

Pra isso P C D = P C D c , concorda? Probabilidade condicional do minério ter valor comercial dado que ele é de difícil acesso tem que ser igual a prob. condicional do minério ter valor comercial dado que ele é de fácil acesso. Assim, a dificuldade do acesso não vai alterar nada.

E P C D c a gente conhece, que é 0,1 .

P C D = P C D c = 0,1

Resposta

a   16,67 %

b   0,8

c   0,1

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