Exercícios Resolvidos de Teorema de Bayes

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Enunciado

Uma empresa de desenvolvimento urbano considera a possibilidade de construir um shopping Center num setor no Rio de Janeiro. Um elemento vital é uma proposta em um setor com estrada que liga ao centro da cidade. Se o Conselho aprovar essa rodovia, há probabilidade de 0,95 da empresa construir o shopping, enquanto, se a rodovia não for aprovada a probabilidade é de apenas 0,20 . Com base em informações disponíveis, o presidente da empresa estima que uma chance 0,70 que a estrada seja aprovada.

Pergunta-se:

  1. Qual é a probabilidade da empresa construir o shopping?
  2. Uma vez que o shopping foi construído, qual é a probabilidade de que a rodovia seja aprovada?

Passo 1

a)

Se nos foi dado uma probabilidade de uma coisa, se outra coisa acontecer sabemos que está sendo falado de uma probabilidade condicional! Vamos usar as seguintes notações para os eventos dessa questão:

A : c o n s e l h o   a p r o v a r   p r o p o s t a

A C : c o n s e l h o   n ã o   a p r o v a r   p r o p o s t a

S : e m p r e s a   c o n s t r u i r   o   s h o p p i n g

Sabendo disso, podemos escrever nossas condicionais. A probabilidade da empresa construir o shopping se o conselho aprovar a rodovia é 0,95 , então:

P S A = 0,95

E a probabilidade da empresa construir o shopping se a rodovia não for aprovada é de 0,20 , então:

P S A C = 0,20

Sabemos também que a probabilidade da rodovia ser aprovada é 0,70 , então:

P A = 0,70

E a probabilidade do conselho não aprovar a rodovia é a complementar dessa daí, ou seja:

P A C = 1 - 0,70 = 0,30

Passo 2

Agora precisamos calcular a probabilidade da empresa construir o shopping. Para isso, temos que usar o teorema da probabilida total:

P B = ∑ P B C i . P ( C i )

Nós queremos calcular P ( S ) , que vai ser:

P S = P S A P A + P S A C P ( A C )

Substituindo os valores:

P S = 0,95 × 0,70 + 0,20 × 0,30 = 0,725

Passo 3

b)

Reparou que agora já sabemos que o shopping foi construído e queremos saber qual a probabilidade da rodovia ter sido aprovada? Ou seja, temos que “voltar no tempo”? Quando isso acontece, usamos o teorema de Bayes! Esse teorema nos diz que:

P A I B = P B A i P ( A i ) P ( B )

Nós queremos a probabilidade da rodovia ter sido aprovada sabendo que o shopping foi construído:

P ( A | S )

Por Bayes, temos que:

P A S = P S A P ( A ) P ( S )

Substituindo os valores:

P A S = 0,95 × 0,70 0,725 = 0,9172

Resposta

a)

0,725

b)

0,9172

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