PUC-Rio – Probabilidade e Estatística (ENG1029)-2019-1
Em uma determinada fábrica constatou-se em registros passados, que uma determinada máquina para a produção de parafusos funciona corretamente do tempo. Se a máquina não está funcionando corretamente, dos parafusos produzidos são defeituosos, e quando a máquina estiver trabalhando corretamente, apenas dos parafusos são defeituosos. Pede-se:
- Se um parafuso é escolhido aleatoriamente, qual é a probabilidade de que ele não esteja defeituoso?
- Uma vez que o parafuso não esteja defeituoso, qual é a probabilidade de que este pertence a máquina que esteja funcionando corretamente.
Observação: utilize o teorema de Bayes.
Passo 1
Provavelmente o Teorema de Boyes seja o mais indicado para nos ajudar a resolver nosso problema. Vale a pena lembrarmos dele. Então segue que
Passo 2
Vamos iniciar nosso problema fazendo um diagrama de árvore, que nos permite visualizar o problema de uma maneira mais direta e simples.
Assim vamos trabalhar da seguinte maneira. Temos duas classes de parafusos, Defeituosos (D) e Não Deteituosos (ND).
Assim se quiséssemos calcular a probabilidade de que uma parafuso não seja defeituoso, teríamos
Ou seja
Que é a probabilidade de o Lado A produzir uma peça defeituosa mais a probabilidade do lado produzir uma peça defeituosa.
Assim temos que
Que é a probabilidade de a maquina estar com defeito vezes a probabilidade dela não produzir uma peça seja defeituosa + a probabilidade dela não estar com defeito vezes a probabilidade dela não prodizir peça defeituosa (Basta ver que seguimos o caminho do diagrama).
Assim podemos finalmente calcular dizendo que
Passo 3
Agora vamos utilizar o teorema de Bayes para determinar qual é a probabilidade de que a maquina que esteja funcionando perfeitamente (B) pertença a classe (ND). Ou seja,
A probabilidade de a maquina com que funciona perfeitamente produzir peças ssem defeito dividido pela probabilidade de existir peças sem defeito no geral.
Interessante que acabamos de calcular , assim só precisamos calcular a probabilidade de a maquina sem defeito produzir peças sem defeito.
Ou seja
Assim temos que pelo Teorema de Bayes
Resposta
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