Exercícios Resolvidos de Teorema de Bayes

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Enunciado

Em uma determinada fábrica constatou-se em registros passados, que uma determinada máquina para a produção de parafusos funciona corretamente 97 % do tempo. Se a máquina não está funcionando corretamente, 5 % dos parafusos produzidos são defeituosos, e quando a máquina estiver trabalhando corretamente, apenas 0,3 % dos parafusos são defeituosos. Pede-se:

  1. Se um parafuso é escolhido aleatoriamente, qual é a probabilidade de que ele não esteja defeituoso?
  2. Uma vez que o parafuso não esteja defeituoso, qual é a probabilidade de que este pertence a máquina que esteja funcionando corretamente.

Observação: utilize o teorema de Bayes.

Passo 1

Provavelmente o Teorema de Boyes seja o mais indicado para nos ajudar a resolver nosso problema. Vale a pena lembrarmos dele. Então segue que

Pr ⁡ B i A = Pr ⁡ B i ∩ A Pr ⁡ A = Pr ⁡ B i ∩ A ∑ j = 1 k Pr ⁡ A B j Pr ⁡ B j = Pr ⁡ A B i Pr ⁡ B i ∑ j = 1 k Pr ⁡ A B j Pr ⁡ B j

Passo 2

Vamos iniciar nosso problema fazendo um diagrama de árvore, que nos permite visualizar o problema de uma maneira mais direta e simples.

Assim vamos trabalhar da seguinte maneira. Temos duas classes de parafusos, Defeituosos (D) e Não Deteituosos (ND).

Assim se quiséssemos calcular a probabilidade de que uma parafuso não seja defeituoso, teríamos

P N D = P ( A ∩ N D ) ∪ P ( B ∩ N D )

Ou seja

P N D = P A ∩ N D + P ( B ∩ N D )

Que é a probabilidade de o Lado A produzir uma peça defeituosa mais a probabilidade do lado B produzir uma peça defeituosa.

Assim temos que

P N D = P A P N D A + P B P N D B

Que é a probabilidade de a maquina estar com defeito vezes a probabilidade dela não produzir uma peça seja defeituosa + a probabilidade dela não estar com defeito vezes a probabilidade dela não prodizir peça defeituosa (Basta ver que seguimos o caminho do diagrama).

Assim podemos finalmente calcular dizendo que

P N D = 0.03 ⋅ 0.95 + 0.97 ⋅ 0.997 = 0.9956

Passo 3

Agora vamos utilizar o teorema de Bayes para determinar qual é a probabilidade de que a maquina que esteja funcionando perfeitamente (B) pertença a classe (ND). Ou seja,

P B N D = P r ⁡ ( B ∩ N D ) P r ⁡ ( N D )

A probabilidade de a maquina com que funciona perfeitamente produzir peças ssem defeito dividido pela probabilidade de existir peças sem defeito no geral.

Interessante que acabamos de calcular P r ⁡ ( N D ) , assim só precisamos calcular a probabilidade de a maquina sem defeito produzir peças sem defeito.

Ou seja

P B ∩ N D = 0.97 ⋅ 0.997 = 0.9671

Assim temos que pelo Teorema de Bayes

P B N D = 0.9671 0.9956 = 0.9714

Resposta

  1. 0.9956
  2. 0.9714

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