Exercícios Resolvidos de Teorema de Bayes

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Enunciado

O receptor de um determinado equipamento de uma rede de telecomunicações recebe mensagens de instruções através de três possíveis transmissores diferentes. Estatísticas da rede mostram que 50% das mensagens recebidas são enviadas pelo transmissor 1, 40% pelo transmissor 2 e 10% pelo transmissor 3. Para fins de garantia de integridade das informações, o protocolo de comunicação exige que o receptor confirme o recebimento repetindo ao seu transmissor a mensagem recebida. Entretanto, a chance dos transmissores enviarem mensagens contendo erros nos bits que os identificam é de 1%, 3% e 6%, respectivamente. Com base nessas estatísticas, calcule:

  1. A probabilidade de chegar uma mensagem no receptor com erro de identificação do remetente e, portanto, o receptor não ter certeza sobre qual transmissor ele deve responder.
  2. Para cada um dos três transmissores, a probabilidade deste ter sido o remetente de uma mensagem que chegou no receptor com erro na identificação.

Passo 1

Vamos organizar essa zona aí.

Primeiro ele diz que o aparelho pode receber mensagens de 3 transmissores diferentes, com probabilidade:

P t r a n s m i s s o r   1 = P T 1 = 0,5

P t r a n s m i s s o r   2 = P T 2 = 0,4

P t r a n s m i s s o r   3 = P T 3 = 0,1

Passo 2

Depois ele dá as probabilidades condicionais das mensagens vindas de cada um dos transmissores, virem com erros nos bits. Então:

E : e r r o   n o s   b i t s   d a   m e n s a g e m

P E T 1 = 0,01

P E T 2 = 0,03

P E T 3 = 0,06

Passo 3

(a)

Como já era de se esperar desse tipo de questão, primeiro ele pede pra gente calcular a probabilidade total de ocorrer erro no envio da mensagem. Pra isso, é só a gente usar a fórmula marota da Probabilidade Total. Contando os casos de erro vindo de cada um dos transmissores.

P E =     ?

P E = P E T 1 × P T 1 + P E T 2 × P T 2 + P E T 3 × P T 3

Substituindo os valores:

P E = 0,5 × 0,01 + 0,4 × 0,03 + 0,1 × 0,06

P E = 0,023 = 2,3 %

Passo 4

(b)

Agora adivinhaaa? Ele pede pra gente calcular a probabilidade de, já sabendo que ocorreu erro, o erro ter vindo do transmissor 1, do transmissor 2, do transmissor 3.

Não me surpreende mais essas questões

A gente só tem que aplicar o Teorema de Bayes 3 vezes, uma pra cada transmissor.

Passo 5

Para o transmissor 1:

P T 1 E = P E T 1 × P T 1 P E

Substituindo:

P T 1 E = 0,5 × 0,01 0,023 = 21,74 %

Para o transmissor 2:

P T 1 E = P E T 2 × P T 2 P E

Substituindo:

P T 2 E = 0,4 × 0,03 0,023 = 52,17 %

Para o transmissor 3:

P T 3 E = P E T 3 × P T 3 P E

Substituindo:

P T 3 E = 0,1 × 0,06 0,023 = 26,09 %

Resposta

a   P E = 2,30 %

b   P T 1 E = 21,74 %     ,     P T 2 E = 52,17 %     ,     P T 3 E = 26,09 %

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