Exercícios Resolvidos de Teorema de Bayes

Marcos N. Magalhães e Antonio Carlos P. Lima, Noções de Probabilidade e Estatística, 6ªed. São Paulo: Edusp, 2004, pp. 52.

Três candidatos disputam as eleições para o Governo do Estado. O candidato do partido de direita tem 30 % da preferência eleitoral, o de centro tem 30 % e o da esquerda 40 % . Em sendo eleito, a probabilidade de dar, efetivamente, prioridade para Educação e Saúde é de 0,4; 0,6 e 0,9 para os candidatos de direita, centro e esquerda, respectivamente.

(a) Qual é a probabilidade de não ser dada prioridade a essas áreas no próximo governo?

(b) Se a área teve prioridade, qual a probabilidade do candidato de direita ter ganho a eleição?

Passo 1

(a)

Definir os eventos:

A : c a n d i d a t o   d a   d i r e i t a   s e r   e l e i t o

B :   c a n d i d a t o   d o   c e n t r o   s e r   e l e i t o

C :   c a n d i d a t o   d a   e s q u e r d a   s e r   e l e i t o

D : s e r   d a d o   p r i o r i d a d e   a s   á r e a s

Com isso, anotamos alguns dados do problema:

P A = 0,3   ,   P B = 0,3   e   P C = 0,4

P D A = 0,4

P D B = 0,6

P D C = 0,9

Que são as probabilidades de as áreas terem prioridade condicionadas a eleição de determinado candidato.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O que queremos ? A probabilidade de NÃO ser dado prioridade as áreas ditas.

P D c =   ?

Sabemos que:

P D c = 1 - P ( D )

Então precisamos calcular P D primeiro.

Passo 3

Vamos usar a fórmula da probabilidade Total para calcular P D .

P D = P D A . P A + P D B . P B + P D C . P C

Substituímos os valores:

P D = 0,4 × 0,3 + 0,6 × 0,3 + 0,9 × 0,4

P D = 0,66

Passo 4

Já podemos calcular o que queremos.

P D c = 1 - P D

P D c = 1 - 0,66

P D c = 0,34

Passo 5

(b)

Agora quero que você já sabendo que foi dado prioridade as áreas ditas, me dê a probabilidade do candidato da direita ter ganho, ou seja, P ( A | D ) , lembrando que:

A : c a n d i d a t o   d a   d i r e i t a   s e r   e l e i t o

D : s e r   d a d o   p r i o r i d a d e   a s   á r e a s

Isso é a cara de quem ? De Bayes, muito bem! Hehe

Vamos usar a fórmula do teorema de Bayes.

P A D = P D A . P A P D

Passo 6

Subistituindo valores na fórmula.

P A D = 0,4 × 0,3 0,66 ≅ 0,18

Resposta

a   0,34   o u   34 %

b ≅ 0,18   o u   18 %

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