Exercícios Resolvidos de Teorema de Bayes

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Enunciado

Três companhias aéreas servem uma pequena cidade no estado de São Paulo. As companhias A , B e C tem, respectivamente 50 % ,   30 % e 20 % de voos programados. As taxas de voos que saem no horário programado são 80 % ,   65 % e 40 % , respectivamente.

  1. Um voo acaba de sair no horário programado. Qual é a probabilidade que seja da companhia C ?
  2. Qual é a probabilidade de um voo não ser da companhia B ou não sair no horário programado?

Passo 1

Pra começo do sucesso, vamos anotar as informações que o enunciado deu pra gente e dar nomes pra algumas coisas.

Temos 3 companhias aéreas com voos programados:

P A → p r o b .   d o   v o o   p r o g r a m a d o   s e r   d a   e m p r e s a   A

P B → p r o b .   d o   v o o   p r o g r a m a d o   s e r   d a   e m p r e s a   B

P C → p r o b .   d o   v o o   p r o g r a m a d o   s e r   d a   e m p r e s a   C

A gente já conhece essas três probabilidades.

P A = 50 %

P B = 30 %

P C = 20 %

A gente conhece também as probabilidades condicionais de um voo sair no horário programado sabendo que ele é de uma das companhias:

H → v o o   s a i r   n o   h o r á r i o   p r o g r a m a d o

P H A → s a i r   n a   h o r a   c e r t a ,   s e n d o   d a   e m p r e s a   A

P H B → s a i r   n a   h o r a   c e r t a ,   s e n d o   d a   e m p r e s a   B

P H C → s a i r   n a   h o r a   c e r t a ,   s e n d o   d a   e m p r e s a   C

P H A = 80 %

P H B = 65 %

P H C = 40 %

Passo 2

(a)

Temos que calcular a probabilidade do voo ser da empresa C sabendo que ele acaba de sair no horário programado, que é o mesmo que:

P C H =   ?

Isso tem cara de que pra você? Bayes, probabilidade total? Bayes! Concorda comigo que a gente já sabe de uma informação meio que “futura” (que o voo saiu no horário programado) e a gente precisa dizer a probabilidade desse voo ser da empresa C ? Isso é a cara de Bayes. Sempre que tiver algo assim, é Bayes.

Usando a fórmula de Bayes:

P C H = P H C × P C P H

Passo 3

Como sempre, a gente vai ter que usar a probabilidade total pra poder calcular P H , que é a probabilidade total do voo sair no horário programado, sendo ele da empresa A ,   B   ou C .

P H = P H A × P A + P H B × P B + P H C × P C

Substituindo todos esses valores que a gente já conhece:

P H = 0,80 × 0,50 + 0,65 × 0,30 + 0,40 × 0,20

P H = 0,675

Passo 4

Agora a gente já tem tudo que a gente precisa pra achar a resposta desse item:

P C H = P H C × P C P H

P C H = 0,40 × 0,20 0,675

P C H = 0,1185

Passo 5

(b)

Primeiro vamos ver qual é a notação pra isso...

B c → v o o   n ã o   s e r   d a   c o m p a n h i a   B

H c → v o o   n ã o   s a i r   n o   h o r á r i o   p r o g r a m a d o

O que a gente quer é a probabilidade de acontecer um ou outro, ou seja, da união desses dois eventos:

P B c ∪ H c =   ?

Passo 6

Tá, como que a gente vai resolver isso?

Pensa comigo... a gente tem dois eventos (vou mostrar naqueles diagramas porque fica bem mais fácil pra entender).

A gente que unir tudo que não tá em B com tudo que não tá em H .

Tudo que não tá em B :

Tudo que não tá em H :

Unindo as duas fica assim:

Beleza? É a probabilidade disso que a gente tem que calcular.

Passo 7

Com isso a gente pode dizer que:

P B c ∪ H c = 1 - P B ∩ H

Concorda? A probabilidade total é 1 , e a probabilidade que a gente quer é 1 menos a probabilidade da interseção dos eventos (que é aquele pedaço ali do meio, não pintado).

Passo 8

E o valor de P B ∩ H a gente conhece, é só usar probabilidade condicional:

P H B = P B ∩ H P B

Então:

P B ∩ H = P H B × P B

P B ∩ H = 0,65 × 0,30 = 0,195

Passo 9

Agora é só resolver:

P B c ∪ H c = 1 - P B ∩ H

= 1 - 0,195

= 0,805

Resposta

a   0,1185

b   0,805

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