Exercícios Resolvidos de Teorema de Bayes

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Enunciado

Há três urnas numa sala. A urna 1 possui 4 bolas vermelhas e 2 brancas; a urna 2 possui 6 bolas vermelhas e 4 brancas; a urna 3 possui 5 bolas vermelhas e 3 brancas. A urna é selecionada ao acaso e duas bolas são retiradas. Uma vez que as duas bolas são vermelhas, qual a probabilidade da urna 1 ter sido selecionada?

Passo 1

Vamos dar uns nomes aqui pra criar um raciocínio bacana.

2 V → 2   b o l a s   r e t i r a d a s   s e r e m   v e r m e l h a s

U 1 → u r n a   I   s e r   s e l e c i o n a d a

O exercício pede pra gente calcular:

P U 1 2 V =   ?

Probabilidade da urna I ter sido escolhida sabendo que saíram duas vermelhas em sequência.

Passo 2

Vamos usar o teorema de Bayes.

P U 1 2 V = P ( 2 V | U 1 ) × P ( U 1 ) P 2 V

Bayes é muito usado quando a gente já sabe uma coisa de frente (as duas bolas retiradas são vermelhas) e queremos saber algo que aconteceu antes (qual urna foi escolhida).

Passo 3

Tá, concorda comigo que a probabilidade de se escolher aleatoriamente qualquer uma das urnas é igual? E igual a 1 / 3 ? Já que são 3   urnas.

Então:

P U 1 = P U 2 = P U 3 = 1 3

OK!

Passo 4

E qual seriam as probabilidades condicionais de saírem 2 bolas vermelhas em sequência para cada uma das urnas?

P 2 V U 1 = 4 6 × 3 5 = 2 5

Concordou? A Urna 1 tem 6 bolas no total, sendo 4 vermelhas. Então, na primeira retirada a gente tem 4   bolas vermelhas em 6 possíveis. Depois disso, passamos a ter 5   bolas no total, sendo 3 vermelhas, certo? Já que já retiramos 1 bola vermelha. Aí a probabilidade de sair uma segunda vermelha seria 3 em 5 .

Se você pensar da mesma forma pra cada urna, você vai chegar em:

P 2 V U 2 = 6 10 × 5 9 = 1 3

P 2 V U 3 = 5 8 × 4 7 = 5 14

Chegou?

Passo 5

Com isso já temos a parte de cima ali do que a gente precisava, e já podemos calcular a probabilidade total de se retirar duas bolas vermelhas, usando o teorema da probabilidade total.

P 2 V = P 2 V U 1 × P U 1 + P 2 V U 2 × P U 2 + P 2 V U 3 × P U 3

= 2 5 × 1 3 + 1 3 × 1 3 + 1 3 × 5 14

= 2 15 + 1 9 + 5 42

= 84 + 70 + 75 630

≅ 0,3635

Passo 6

Agora podemos jogar tudo na fórmula inicial lá de cima:

P U 1 2 V = P ( 2 V | U 1 ) × P ( U 1 ) P 2 V

= 2 5 × 1 3 0,3635

≅ 0,3668

Ou 36,68 % .

Resposta

≅ 36,68 %

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