Exercícios Resolvidos de Teorema de Bayes

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Enunciado

A incidência de Câncer no pulmão causado pela poluição produzida na combustão de carvão é de 1 caso por 1000 da população. Como informação adicional, sabe-se que de cada 5 casos, 3 são suaves e 2 são crônicos.

Um novo instrumento detector desta doença está sendo testado. Sabe-se que este aparelho detecta o câncer no estado crônico com certeza, detecta o câncer no estado suave com probabilidade de 0,6 e indica a presença da doença mesmo quando esta não existe com probabilidade de 0,01 .

Avalie o desempenho deste aparelho na detecção correta da existência desta doença (nos estados suave e crônico) num paciente. Comente os resultados.

Passo 1

Pra avaliar o desempenho deste aparelho a gente tem que ver qual a probabilidade do aparelho dar um alarme falso, ou seja, detectar a doença em pessoas sadias, já que isso não é bom, certo?

Pra isso vamos começar analisando as informações. Temos 3 tipos de situações...

A 1 → p a c i e n t e   c r ô n i c o

A 2 → p a c i e n t e   s u a v e

A 3 → p a c i e n t e   s a d i o

E temos D → aparelho detectar o câncer.

A gente sabe pelo texto que a probabilidade da pessoa estar doente é de 1   pra 1000 , ou seja, 0,1 % , concorda? Isso significa que a probabilidade do paciente ser sadio é de 99,9 % .

P A 3 = 0,999

O texto também dá a probabilidade do paciente ser crônico ou suave.

P A 1 = 2 5 = 0,4

P A 2 = 3 5 = 0,6

Vamos dividir essas proporções por 1000 , concorda? Porque a probabilidade de A 3 a gente calculou num universo de 1000 casos, e não de 5 .

P A 1 = 0,0004

P A 2 = 0,0006

Passo 2

Temos também as probabilidades condicionais do aparelho detectar a doença para cada tipo de paciente...

P D A 1 = 100 % = 1

P D A 2 = 0,6

P D A 3 = 0,01

Passo 3

Vamos começar então calculando a probabilidade total do aparelho detectar a doença independente do tipo de paciente. Pra isso, usamos o teorema da probabilidade total.

P D = P D A 1 × P A 1 + P D A 2 × P A 2 + P D A 3 × P A 3

= 1 × 0,0004 + 0,6 × 0,0006 + 0,999 × 0,01

= 0,01075

Passo 4

Agora já sabendo que uma pessoa foi detectada com a doença, podemos calcular a probabilidade dela ser um paciente crônico, suave ou sadio. Pra isso usamos o teorema de Bayes. Dessa maneira a gente vai ver se a probabilidade da pessoa ser detectada com a doença mesmo sendo sadia é alta ou não e vamos poder avaliar o aparelho.

P A 3 D = P D A 3 × P A 3 P D

= 0,999 × 0,01 0,01075

= 92,93 %

Olha que doideira, a chance da pessoa ser sadia e mesmo assim ser detectada com a doença é de 92,93 % .   Podemos afirmar que essa máquina é uma droga e não serve pra nada a não ser dar susto nas pessoas.

Resposta

o   a p a r e l h o   n ã o   é   d e   b o a   q u a l i d a d e

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