Exercícios Resolvidos de Teste da integral

UFRJ, Cálculo 4, P1 - 2018.1, Questão 1b

Estude a convergência, convergência absoluta ou divergência da série abaixo:

n = 2 1 n l o g e n 2  

Passo 1

Temos que o logaritmo de base e nada mais é que:

l o g e n 2   = l n   n 2  

Então vamos escrever dessa forma para ficar mais bonito. Show, então temos a série:

n = 2 1 n   l n   n 2    

Temos que n   l n   n 2   > 0 para todo n . Então o termo dessa série é sempre positivo. Logo, pode ser uma boa usar o teste da integral.

Dessa forma, associamos: 1 n   l n   n 2   f x = 1 x   l n   x 2  

Com a função bem bonita definida em [ 2 , ) R , porque n começa em 2 .

Legal, então temos:

f x = 1 x   l n   x 2  

f : [ 2 , ) R

E vamos calcular essa integral:

2 1 x   l n   x 2   d x

Pois se convergir, a série também converge. O ponto aqui é ver que aparece o l n   x   e sua derivada 1 / x na integral, então podemos usar substituição simples com:

u = l n   x  

d u = 1 x d x

u 2 = l n   2  

u l n    

Logo, teremos: 2 1 x   l n   x 2   d x = l n   2   d u u 2 = - 1 u | l n   2   = - 1 a   + 1 l n   2   = 1 l n   2  

Como a integral converge (o resultado é um número finito), então temos que a série também vai convergir pelo teste da integral.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos ver agora se a série converge absolutamente. Ou seja, vamos ver se:

n = 2 1 n   l o g e n 2  

é convergente. Bem, como n 2 > 0 , temos que:

1 n   l o g e n 2   = 1 n l n   n 2   = 1 n   l n   n 2  

Portanto,

n = 2 1 n   l o g e n 2   = n = 2 1 n   l o g e n 2  

Como já sabemos que a série converge e é igual a série absoluta associada, então temos que a série converge absolutamente.

Resposta

n = 2 1 n   l o g e n 2  

Converge absolutamente.

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