(Capítulo 11.3 – Exercício 25) Determine se a série é convergente ou divergente.

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 + n ³

Passo 1

Faaala galera, vamos lá!

Esse exercício da uma série pra gente:

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 + n ³

E aí queremos saber se ela é convergente ou divergente, ou seja, queremos saber se ela vai tendendo a algum determinado valor ou se ela explode pro infinito conforme a quantidade de termos aumenta, sacou?

Para essa série, é uma mão na roda usar o teste da integral pra verificar se converge ou diverge

Só pra lembrar como é feito esse teste:

- Vamos transformar o termo geral da nossa série em uma função f ( x ) (isso significa apenas substituir n por x )

- Se essa função for decrescente, podemos seguir com os próximos passos. Se não for, byee

- Vamos calcular a integral da função f ( x ) no intervalo da somatória. Se ela convergir, a série também converge, fechou?

Passo 2

Então, temos a série

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 + n ³

Chamando f x = 1 x 2 + x ³ vamos verificar se essa função é decrescente no intervalo de 1 a . Para isso, vamos derivar a função e verificar se a derivada é sempre negativa nesse intervalo, porque uma derivada negativa indica que a função é decrescente, lembra? Então:

f ' x = - ( 2 x + 1 ) ( x 2 + x ) ²

O nosso denominador é sempre positivo, e o numerador também (para x > 1 ), então a divisão como um todo é sempre negativa no intervalo em questão

Então, a derivada é sempre negativa e portanto a função é decrescente nesse intervalo né?

Podemos seguir com o teste da integral :P

Passo 3

Para determinarmos se a série converge ou diverge temos que aplicar a integral conforme o intervalo da série que nos foi dada. Dessa forma, nossa integral será:

∫ 1 ∞ f x d x = ∫ 1 ∞ 1 x 2 + x ³ d x

Antes de resolvermos a integral, temos que simplificar o argumento, pois não é possível resolver a integral do jeito em que ela está apresentada! Uma maneira interessante é utilizarmos frações parciais. Para isso, teremos que escrever o denominador como um produto, e isso é bem tranquilão, né? Saca só:

x 2 + x 3 = x ² ( 1 + x )

1 x 2 1 + x = A x + B x 2 + C x + 1

Fazendo MMC, teremos:

A x + B x + 1 + C x ² x ² ( x + 1 ) = 1 x 2 1 + x

A x 2 + A x + B x + B + C x ² x ² ( x + 1 ) = 1 x 2 1 + x

A + C x 2 + A + B x + B = 1

Fazendo uma análise dos graus e dos coeficientes, teremos:

A + C = 0 A + B = 0 B = 1

Da segunda equação podemos tirar que A = - 1 e da terceira equação podemos tirar que C = 1 , logo, podemos escrever nossa f ( x ) da seguinte maneira:

A x + B x 2 + C x + 1 = 1 x 2 - 1 x + 1 x + 1

Passo 4

Ufa! Depois de todo esse trabalho, agora sim vamos resolver essa bendita integral, se liga:

∫ 1 t 1 x 2 - 1 x + 1 x + 1 d x

Para a primeira integral, temos que:

∫ 1 x 2 d x = - 1 x

Para a segunda integral, temos que:

- ∫ 1 x d x = - ln ⁡ x

Para a terceira integral, temos que:

∫ 1 x + 1 d x = ln ⁡ ( x + 1 )

Sendo assim, teremos:

∫ 1 t 1 x 2 - 1 x + 1 x + 1 d x = - 1 x - ln ⁡ x + ln ⁡ x + 1 t 1

∴ ∫ 1 t 1 x 2 - 1 x + 1 x + 1 d x = - 1 t + ln ⁡ t + 1 t + 1 - ln ⁡ 2

Por fim, aplicando o limite, teremos:

lim n → ∞ ⁡ - 1 t + ln ⁡ t + 1 t + 1 - ln ⁡ 2 = 0 + 0 + 1 - ln ⁡ 2 = 1 - ln ⁡ 2

Opa, o limite convergiu. Sendo assim, a conclusão é de que a a série converge.

Resposta

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 + n ³   é   c o n v e r g e n t e

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