Exercícios Resolvidos de Teste da integral

Questão 3) Determine, em cada item, se a série é convergente ou divergente, determinando também qual é o modo de convergência. Especifique os testes utilizados.

b)

∑ n = 2 ∞ 1 n ln ⁡ n 7

Passo 1

Bem, a primeira coisa que temos que fazer em séries de frações assim é averiguar se o termo geral está indo a 0 , pois se não nem precisa de fazer conta, afinal ela divergirá direto:

lim n → ∞ ⁡ 1 n ln ⁡ n 7

Quando n vai ao infinito o denomidor também vai, então a fração vai a 0

lim n → ∞ ⁡ 1 n ln ⁡ n 7 = 0

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Passo 2

Ótimo então a série pode ou não convergir. Temos que encontrar o melhor método de averiguar isso.

Veja que temos um l n e também 1 / n nessa sequência e que 1 / n é a derivada do l n . Poxa, então o método das integrais facilita muito.

∑ n = 2 ∞ 1 n ln ⁡ n 7           →           ∫ 2 ∞ 1 x ln ⁡ x 7 d x

Aí se a integral convergir a série converge, se divergir a série também diverge. Mas agora, essa implicação não é válida sempre. Só é válida em casos a sequência é decrescente. Ora e pensa comigo, se a sequência vai a 0 no infinito

lim n → ∞ ⁡ 1 n ln ⁡ n 7 = 0

E também ele é formada por temos positivos, pois ln ⁡ n 7 é positivo e n também é, então a única forma dessa fração ir a 0 é se ela for decrescente de fato (pensa no gráfico de 1 / x ).

Logo no nosso caso a gente pode aplicar a relação de boas! Vem comigo ;D

Passo 3

∫ 2 ∞ 1 x ln ⁡ x 7 d x

Resolvendo essa integral por uma substituição simples...

ln ⁡ x = t     →

d t = 1 x d x

Então...

∫ 1 x ln ⁡ x 7 d x = ∫ 1 t 7 d t = ∫ t - 1 7 d t =

7 6 t 6 7

Trocando novamente pelo termo em x ...

∫ 1 x ln ⁡ x 7 d x = 7 6 ln ⁡ x 6 7 + C

Então...

∫ 2 ∞ 1 x ln ⁡ x 2 d x = 7 6 ln ⁡ x 6 7 + C 2 ∞ = ∞ + C - 7 6 ln ⁡ 2 6 7 + C =

Epa! A integral divergiu! Então com certeza a série...

∑ n = 2 ∞ 1 n ln ⁡ n 7

Diverge também!

Resposta

Diverge pelo método das integrais.

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