Exercícios Resolvidos de Teste da integral

Passo 1

Para resolver essa questão, vamos utilizar o teste da integral. Sendo:

a n = 1 n p

Façamos:

f x = 1 x p

Lembre-se de que p é um número fixo, a variável é x .

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Passo 2

Vamos calcular a integral em um intervalo finito:

∫ 1 b 1 x p d x = ∫ 1 b x - p d x = x - p + 1 1 - p 1 b = b - p + 1 - 1 1 - p

Sabendo que:

Vamos tomar o limite considerando os dois casos a seguir:

Caso 1: 0 < p < 1

Nesse caso, lim b → ∞ ⁡ b 1 - p = ∞ , porque o expoente ( 1 - p ) é positivo. Assim, o limite da expressão é infinito e a integral diverge.

lim b → ∞ ⁡ b 1 - p - 1 1 - p = ∞

Pelo Teste da integral, a p-série diverge.

Caso 2: p > 1

Nesse caso, lim b → ∞ ⁡ b 1 - p = 0 , porque o expoente ( 1 - p ) passa ser negativo. Assim:

lim b → ∞ ⁡ b 1 - p - 1 1 - p = - 1 1 - p

Como a integral converge, nesse caso, pelo Teste da integral, a série também converge.

Não considerei o caso em que p = 1 , pois teríamos zero no denominador. Para esse valor, a p-série se torna uma série harmônica, que já provamos na teoria que diverge.

Resposta

A série converge para p > 1 e a série diverge para p ≤ 1 .

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