Use o Teste da Integral para achar quais das séries convergem e quais divergem:

c)

∑ n = 1 ∞ e n 1 + e 2 n

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para dizer se a série ∑ n = 1 ∞ e n 1 + e 2 n converge ou diverge pelo Teste da Integral.

Então... Para usar o Teste da Integral, precisamos comparar a série dada com uma integral imprópria.

Nesse caso, podemos escrever a série na forma da seguinte integral imprópria:

∫ 1 ∞ e x 1 + e 2 x d x

Agora basta calcularmos a integral e verificar se ela converge ou diverge!!

Passo 2

Bom... Resolvendo a integral, percebemos que:

∫ d u u 2 + a 2 = 1 a arctan ⁡ u a + c

Dessa forma, temos:

∫ 1 ∞ e x 1 + e 2 x d x = arctan ⁡ e x ∞ 1 ∴

= arctan ⁡ e ∞ - arctan ⁡ e 1 ∴

= π 2 - arctan ⁡ e

Logo, percebemos que a integral converge.

Dessa forma, a série também converge!!!

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

A série converge

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