Exercícios Resolvidos de Teste da integral

Estudar a convergência ou divergência de cada uma das séries a seguir. Em caso de convergência, classificar a mesma em condicional ou absoluta.

De forma mais geral, determinar para quais valores positivos de α a série ∑ n = 2 ∞ 1 n ln ⁡ n p   é convergente.

Passo 1

Pra descobrir essa convergência nós vamos realizar o teste da integral e pra isso temos que a integral abaixo deve convergir.

∫ 2 ∞ 1 x ln ⁡ x p d x

Para isso, vamos arrumar essa integral imprópria

∫ 2 ∞ 1 x ln ⁡ x p d x = lim a → ∞ ⁡ ∫ 2 a 1 x ln ⁡ x p d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos resolver aquela integral separada

∫ 2 a 1 x ln ⁡ x p d x

Realizando a seguinte mudança de variável

ln ⁡ x = s ,     1 x d x = d s

Temos que mudar os limites de integração também

x = 2 → s = ln ⁡ 2

x = a → s = ln ⁡ a

∫ 2 a 1 x ln ⁡ x p d x = ∫ ln ⁡ 2 ln ⁡ a 1 s p d s

Aqui temos duas situações:

p = 1 ⇒ ∫ 1 s d s = ln ⁡ s + C p ≠ 1 ⇒ ∫ 1 s p d s = s - p + 1 - p + 1 + C

Assim, temos

∫ ln ⁡ 2 ln ⁡ a 1 s p d s = p = 1 ⇒ ∫ ln ⁡ 2 ln ⁡ a 1 s d s = ln ⁡ s   ln ⁡ 2 ln ⁡ a = ln ⁡ ln ⁡ a - ln ⁡ ln ⁡ 2 p ≠ 1 ⇒ ∫ ln ⁡ 2 ln ⁡ a 1 s p d s = s - p + 1 - p + 1 ln ⁡ 2 ln ⁡ a = ln ⁡ a - p + 1 - p + 1 - ln ⁡ 2 - p + 1 - p + 1

Passo 3

Agora devemos fazer o nosso limite

Começando com p = 1

lim a → ∞ ⁡ ln ⁡ ln ⁡ a - ln ⁡ ln ⁡ 2 = ln ⁡ ln ⁡ ∞ - ln ⁡ ln ⁡ 2 = ∞

Passo 4

Vamos agora para p ≠ 1

lim a → ∞ ⁡ ln ⁡ a - p + 1 - p + 1 - ln ⁡ 2 - p + 1 - p + 1 = ∞ - p + 1 - p + 1 - ln ⁡ 2 - p + 1 - p + 1

Agora vamos com calma.

Aquele ∞ - p + 1 precisa ser olhado com carinho. Quando temos elevado a um número maior que 0 , ele vai para . Se ele for elevado a um número menor que 0 ele vai para 0 .

Calma, respira. Isso vai dizer que

∞ - p + 1 - p + 1 - ln ⁡ 2 - p + 1 - p + 1 = - p + 1 > 0 ⇒ ∞ - p + 1 < 0 ⇒ - ln ⁡ 2 - p + 1 - p + 1

Beleza, mas falta quando aquele expoente é exatamente 0 . Calma, olha comigo

- p + 1 = 0 ⇒ p = 1

Como nesse caso queremos p ≠ 1 , esse resultado não serve pra nós.

Passo 5

Agora, vamos juntar tudo. Essa nossa série vai convergir se

- p + 1 < 0 ⇒ p > 1

E como:

1 n ln ⁡ n p = 1 n ln ⁡ n p

A série converge absolutamente para p > 1 .

Resposta

A série converge absolutamente para p > 1

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