Utilize os testes de convergência para determinar se as séries são convergentes ou divergentes

g )   ∑ n = 1 ∞ e a r c t g ( n ) n 2 + 1

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão está no início de uma longa lista, vamos resolver esse tericeiro item? (o restante dela você pode encontrar no nosso site!)

Precisamos decidir se essa série

∑ n = 1 ∞ e a r c t g ( n ) n 2 + 1

Converge ou diverge

E qual teste usar? Essa é a pergunta de milhões! Bom, olhando com carinho essa série vemos que temos no seu termo geral uma razão de exponenciais

a n = e a r c t g n n 2 + 1

E se for puxar pela memória já calculou a integral de alguma coisa muito parecida! Quando for assim, a primeira coisa que você precisa lembrar é do teste da integral!

Mas o que nos diz esse teste?

O teste da integral avalia o comportamento no infinito da área compreendida entre a função associada com o termo geral e o eixo x , desde o primeiro termo da série até x → ∞

ρ = ∫ x = n 1 ∞ f ( x ) d x

No nosso caso n 1 = 1 e f ( x ) pode ser encontrada trocando n por x no termo geral

a n = e a r c t g n n 2 + 1 → f x = e a r c t g x x 2 + 1

Aqui podemos ter dois cenários (e duas conclusões diferentes):

  1. Se ∫ 1 ∞ f ( x ) d x for convergente (o resultado ser um número): série é convergente
  2. Se ∫ 1 ∞ f ( x ) d x for divergente: então a série é divergente

Mas lembrem-se: para funcionar, a função precisa ser decrescente! No nosso caso ela é, o denominador é maior do que o numerador

Então a ideia é calcular esse ρ e torcer para que não dê a segunda conclusão!

Dica: se a função for decrescente, com certeza a integral vai convergir e a série será convergente!

Bora começar?

Vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa série é a seguinte

∑ n = 1 ∞ 1 n ln ⁡ n 3

E vamos usar o teste da integral

ρ = ∫ 1 ∞ f ( x ) d x = ∫ 1 ∞ e a r c t g x x 2 + 1 d x

Então antes de mais nada, precisamos trocar essa integral imprópria, por limites apropriados

ρ = lim c → ∞ ⁡ ∫ 1 c e a r c t g x x 2 + 1 d x

Beleza?

Então agora nossa missão é: calcular essa integral, aplicar nos limites e depois avaliar o limite do resultado quando c → ∞

Tudo bem até aqui?

bora lá?

Passo 3

Precisamos resolver essa integral aqui

∫ 1 c e a r c t g x x 2 + 1 d x

Vamos resolver por substituição! Isso porque temos no argumento da exponencial um arco tangente, multiplicando d x temos 1 x 2 + 1 no integrando, e sabemos que uma é a derivada da outra!

Então

u = a r c t g ( x ) → d u = 1 x 2 + 1 d x

Substituindo na integral temos o seguinte

∫ e u d u

E podemos usar a tabela de integrais!

∫ e u d u = e a r c t g x

Voltando para x :

∫ 1 c e a r c t g x x 2 + 1 d x = e a r c t g x 1 c = e a r c t g c - e a r c t g 1

Tranquilo até aqui?

Estamos quase lá!

,,,,,

Passo 4

Agora que calculamos a integral e aplicamos os limites, vamos avaliar esse resultado no limite quando c → ∞

ρ = lim c → ∞ ⁡ ∫ 1 c e a r c t g x x 2 + 1 d x

ρ = lim c → ∞ ⁡ e a r c t g c - e a r c t g 1 = e π 4 - e π 2

ρ = e π 4 - e π 2 = c o n s t a n t e

Opa! Encontramos um resultado finito para a integral! Isso significa que nossa série (que está associada com a integral) dará um valor finito também!

Portanto a série

∑ n = 1 ∞ e a r c t g n n 2 + 1

É convergente!

E é isso! Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

c o n v e r g e n t e

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