(Capítulo 11.3 – Exercício 17) Determine se a série é convergente ou divergente.

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 + 4

Passo 1

Faaala galera, vamos lá!

Esse exercício da uma série pra gente:

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 + 4

E aí queremos saber se ela é convergente ou divergente, ou seja, queremos saber se ela vai tendendo a algum determinado valor ou se ela explode pro infinito conforme a quantidade de termos aumenta, sacou?

Para essa série, é uma mão na roda usar o teste da integral pra verificar se converge ou diverge

Só pra lembrar como é feito esse teste:

- Vamos transformar o termo geral da nossa série em uma função f ( x ) (isso significa apenas substituir n por x )

- Se essa função for decrescente, podemos seguir com os próximos passos. Se não for, byee

- Vamos calcular a integral da função f ( x ) no intervalo da somatória. Se ela convergir, a série também converge, fechou?

Passo 2

Então, temos a série

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 + 4

Chamando f x = 1 x 2 + 4 , vamos verificar se essa função é decrescente no intervalo de 1 a . Para isso, vamos derivar a função e verificar se a derivada é sempre negativa nesse intervalo, porque uma derivada negativa indica que a função é decrescente, lembra? Então:

f ' x = - 2 x ( x ² + 4 ) ²

O nosso denominador é sempre positivo, e o numerador também (porque o x é sempre maior que 1), então a divisão como um todo é sempre negativa (por causa do sinal de menos ali)

Então, a derivada é sempre negativa e portanto a função é decrescente nesse intervalo né?

Podemos seguir com o teste da integral :P

Passo 3

Para determinarmos se a série converge ou diverge temos que aplicar a integral conforme o intervalo da série que nos foi dada. Dessa forma, nossa integral será:

∫ 1 ∞ f x d x = ∫ 1 ∞ 1 x 2 + 4 d x

Calculando a integral:

∫ 1 ∞ f ( x ) d x = ∫ 1 ∞ 1 x 2 + 4 d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t 1 x 2 + 4 d x

Bom, para resolvermos essa integral, vamos usar a técnica de substituição trigonométrica com x = 2 ∙ tg ⁡ θ e d x = 2 . sec 2 ⁡ θ d θ :

∫ d x x 2 + 4 = ∫ 2 sec 2 ⁡ θ d θ 4 tg 2 ⁡ θ + 4 = ∫ 2 . 1 cos 2 ⁡ θ 4 sen 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ + 1 d θ = ∫ 2 . 1 cos 2 ⁡ θ 4 1 cos 2 ⁡ θ d θ = ∫ d θ 2 = θ 2 = tg - 1 ⁡ x 2 2

Retornando à nossa integral imprória, temos:

lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t d x x 2 + 4 = lim t → ∞ ⁡ tg - 1 ⁡ x 2 2 1 t = lim t → ∞ ⁡ tg - 1 ⁡ t 2 2 - tg - 1 ⁡ 1 2 2 = 1 2 π 2 - tg - 1 ⁡ 1 2

Opa! A nossa integral imprória convergiu para um valor!

Logo, pelo Teste da Integral, a nossa série é convergente!

Resposta

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 + 4   é convergente

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