Exercícios Resolvidos de Teste da integral

Questão 2) Determine, em cada item, se a série é convergente ou divergente, determinando também qual modo de convergência. Especifique os testes utilizados.

b)

∑ n = 2 ∞ 1 n ln ⁡ n 2

Passo 1

Bem, a primeira coisa que temos que fazer em séries de frações assim é averiguar se o termo geral está indo a 0 , pois se não nem precisa de fazer conta, afinal ela divergirá direto:

lim n → ∞ ⁡ 1 n ln ⁡ n 2

Para calcular esse limite, podemos calcular o limite da função contínua

f x = 1 x ln ⁡ x 2

Pois os limites serão os mesmos, saca? A vantagem de se fazer isso é que assim podemos usar as regras já conhecidas de limites, como L’Hopital entre outros :D

Então bora calcular esse limite:

lim x → ∞ ⁡ 1 x ln ⁡ x 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Observe que quando x cresce o l n também cresce fazendo o denominador indo a então a fração vai com certeza para...

lim n → ∞ ⁡ 1 n ln ⁡ n 2 = 0

Ótimo então a série pode ou não convergir. Temos que encontrar o melhor método de averiguar isso.

Veja que temos um l n e também 1 / n nessa sequência e que 1 / n é a derivada do l n . Poxa, então o método das integrais facilita muito.

∑ n = 2 ∞ 1 n ln ⁡ n 2           →           ∫ 2 ∞ 1 x ln ⁡ x 2 d x

Aí se a integral convergir a série converge, se divergir a série também diverge. Mas agora, essa implicação não é válida sempre:

Só é válida em casos a sequência é decrescente, ora e prensa comigo, se a sequência vai a 0 no infinito

lim n → ∞ ⁡ 1 n ln ⁡ n 2 = 0

E também ele é formada por temos positivos, pois ln ⁡ n 2 é positivo e n também é, então a única forma dessa fração ir a 0 é se ela for decrescente de fato (pensa no gráfico de 1 / x ).

Logo no nosso caso a gente pode aplicar a relação de boas! Vem comigo ;D

Passo 3

∫ 2 ∞ 1 x ln ⁡ x 2 d x

Resolvendo essa integral por uma substituição simples...

ln ⁡ x = t     →

d t = 1 x d x

Então...

∫ 1 x ln ⁡ x 2 d x = ∫ 1 t 2 d t =

- 1 t

Trocando novamente pelo termo em x ...

∫ 1 x ln ⁡ x 2 d x = - 1 ln ⁡ x + C

Então...

∫ 2 ∞ 1 x ln ⁡ x 2 d x = - 1 ln ⁡ x + C 2 ∞ = 0 + C - - 1 ln ⁡ 2 + C =

1 ln ⁡ 2

Epa! A integral convergiu para um valor! Então com certeza a série...

∑ n = 2 ∞ 1 n ln ⁡ n 2

Converge!

Passo 4

Além da série convergir, podemos falar também que ela converge absolutamente, pois...

∑ n = 2 ∞ 1 n ln ⁡ n 2 = ∑ n = 2 ∞ 1 n ln ⁡ n 2

Se a série do lado direito converge, então a série do módulo também converge, fazendo com que ela convirja absolutamente.

Resposta

Converge absolutamente pelo método das integrais.

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