2 .

i . Utilizar o teste da integral para mostrar que a série

∑ n = 2 ∞ 1 n ln ⁡ n 2

é convergente.

i i . Considere a seguinte afirmação:

“No teste da integral, quando a série é convergente, o valor da integral é igual ao valor da série”.

A afirmação é verdadeira ou falsa? Se for verdadeira, prove-a rigorosamente. Se for falsa, exiba um contraexemplo detalhado.

Passo 1

Vem comigo que a gente resolve essa juntos!

Temos que usar o teste da integral e provar que a série é convergente. O teste da integral diz o seguinte:

Suponha que f seja uma função contínua, positiva e decrescente em [ 1 , ∞ ) e seja a n = f ( n ) . Então a série ∑ n = 1 ∞ a n é convergente se, e somente se, a integral imprópria for convergente.

De forma mais clara é o seguinte:

Se ∫ 1 ∞ f x d x for convergente, a série também é e se a integral divergi a série também diverge.

Vamos as contas então!

Passo 2

Temos que calcular a seguinte integral:

∫ 2 ∞ 1 x ln ⁡ x 2 d x

Para resolver essa integral vão usar o método de substituição. Chamando:

u = ln ⁡ x

d u = 1 x d x

Os limites de integração ficam da seguinte forma:

u = ln ⁡ 2

u = ∞

Passo 3

Assim temos que:

∫ ln ⁡ 2 ∞ 1 u 2 d u

= lim a → ∞ ⁡ - 1 u ln ⁡ 2 a

= lim a → ∞ ⁡ - 1 a + 1 ln ⁡ 2

Então temos que:

∫ 2 ∞ 1 x ln ⁡ x 2 d x = 1 ln ⁡ 2

Como a integral converge a série também converge.

Passo 4

Agora temos que ver se a afirmação que o enunciado deu no item ( i i ) é verdadeira ou falsa.

Para fazermos esse teste, vamos usar a seguinte série onde já conhecemos o resultado.

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = π 2 6

Agora vamos fazer a integral do termo a n = 1 / n 2 e ver o que encontramos, temos:

∫ 1 ∞ 1 x 2 d x

= lim a → ∞ ⁡ - 1 x 1 a

= lim a → ∞ ⁡ - 1 a + 1 1

Então temos que:

∫ 1 ∞ 1 x 2 d x = 1

Os resultados são diferentes, então aquela afirmação é falsa.

Resposta

( i ) A série converge.

( i i ) Falsa.

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