1. A série ∑ m = 2 ∞ 1 m ( log ⁡ m ) 2 é convergente ou divergente? Justifique.

Passo 1

Temos:

a m = 1 m log ⁡ m 2

Logo, podemos definir:

f x = 1 x ( log ⁡ x ) 2

Assim, temos f m =   a m .

Passo 2

x log ⁡ x 2 > 0 sempre! Além disso, como o denominador é crescente e o numerador constante ( = 1 ), podemos garantir que f ( x ) é decrescente.

Passo 3

Podemos aqui aplicar o teste da integral. Para isso, fazemos a substituição u = log ⁡ x . Assim, teremos:

u = log ⁡ x

Vamos mudar pra base e :

u = ln ⁡ x ln ⁡ 10

d u = d x x ln ⁡ 10

Em que esse ln ⁡ 10 aparece justamente porque estamos trabalhando com o log na base 10 e não base e , ok?

Dessa forma, vamos ter:

∫ 2 + ∞ d x x ( log ⁡ x ) 2 = ln ⁡ 10 ∫ l o g 2 + ∞ d u u 2 = - ln ⁡ 10 1 u l o g 2 + ∞

Passo 4

Sendo justamente:

- ln ⁡ 10 1 u log ⁡ 2 + ∞ = l i m b → ∞ - ln ⁡ 10 1 b - 1 log ⁡ 2 = ln ⁡ 10 log ⁡ 2

Como a integral converge, a série do problema converge!

Resposta

Converge

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