2 .

i . Utilize o teste da comparação para mostrar que a série

∑ n = 2020 + ∞ ln ⁡ n 1983 n

diverge.

i i . Utilize o teste da comparação e o teste da integral (nesta ordem) para mostrar que a série

∑ n = 1 + ∞ ln ⁡ n n 1983

converge.

Passo 1

Vem comigo que a gente resolve essa juntos!

Para fazer tudo que o enunciado pede temos que usar o teste da comparação e da integral ao nosso favor.

O teste da comparação diz que:

Se ∑ b n for convergente e a n ≤ b b para todo n , então ∑ a n também será convergente.

Se ∑ b n for divergente e a n ≥ b b para todo n , então ∑ a n também será convergente.

O teste da integral diz o seguinte:

Suponha que f seja uma função contínua, positiva e decrescente em [ 1 , ∞ ) e seja a n = f ( n ) . Então a série ∑ n = 1 ∞ a n é convergente se, e somente se, a integral imprópria for convergente.

De forma mais clara é o seguinte:

Se ∫ 1 ∞ f x d x for convergente, a série também é e se a integral divergi a série também diverge.

Vamos nessa então!

Passo 2

Vamos começar com o item ( i ) .

Temos que encontrar uma série com um termo b n menor que o termos:

a n = ln ⁡ n 1983 n

Podemos escolher o seguinte termo:

b n = 1 n

Já que:

ln ⁡ n 1983 n > 1 n

A série

∑ n = 1 ∞ 1 n

Diverge, então a série

∑ n = 2020 + ∞ ln ⁡ n 1983 n

Também diverge.

Passo 3

Agora vamos para o item ( i i ) .

Primeiro vamos usar o teste da comparação, para isso vamos escolher o seguinte termo:

b n = 1 n 2

Já que:

ln ⁡ n n 1983 < 1 n 2

Isso acontece porque n 1983 cresce muito mais rápido que n 2 .

Como a série

∑ n = 1 ∞ 1 n 2

Converge, então a série

∑ n = 1 + ∞ ln ⁡ n n 1983

Também converge.

Passo 4

Agora vamos mostrar isso com o teste da integral.

Temos que calcular a seguinte integral:

∫ 1 ∞ ln ⁡ x x 1983 d x

Para resolver essa integral vamos usar a integração por partes. Vamos chamar:

f = ln ⁡ x

d f = 1 x d x

d g = 1 x 1983

g = - 1 198 2 x 1982

Assim temos que:

∫ 1 ∞ ln ⁡ x x 1983 d x = - ln ⁡ x 1982 x 1982 1 ∞ - ∫ 1 ∞ - 1 198 2 x 1982 1 x d x

= - 0 - 0 + 1 198 2 ∫ 1 ∞ 1 x 1983   d x

= 1 1982 - 1 1982 x 1982 1 ∞

Logo temos que:

∫ 1 ∞ ln ⁡ x x 1983 d x = 1 3928324 < 1

Então a série converge.

Questão finalizada com sucesso!

Resposta

i . Demonstrado acima.

i i . Demonstrado acima.

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