Exercícios Resolvidos de Teste da integral

Passo 1

Vamos utilizar o critério da integral para analisar a convergência da série, ok?

Mas antes devemos analisar se o termo geral vai a zero e a função é decrescente.

É fácil ver que esses dois critérios são atendidos, pois a assim que n cresce a função diminuirá até chegar a zero.

Assim, vamos aplicar o teste da integral.

∫ 3 ∞ f ( x ) d x = ∫ 3 ∞ 1 x ln ⁡ x ln ⁡ ln ⁡ x α d x

Substituindo: u = ln ⁡ x e d x = x d u , então:

∫ 3 ∞ 1 x ln ⁡ x ln ⁡ ln ⁡ x α d x =   ∫ ln ⁡ 3 ∞ 1 u ln ⁡ u α d u

Substituindo: v = ln ⁡ u e d u = u d v , então:

∫ ln ⁡ 3 ∞ 1 u ln ⁡ u α d x =   ∫ ln ⁡ ln ⁡ 3 ∞ 1 v α d v

Assim, vamos analisar essa integral com bastante atenção para valores de alfa.

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Passo 2

Resolvendo a integral, temos:

∫ ln ⁡ ln ⁡ 3 ∞ 1 v α d v =   lim v → ∞ ⁡ v 1 - α 1 - α - ( ln ⁡ ln ⁡ 3 1 - α 1 - α   ,   α ≠ 1   lim v → ∞ ⁡ ln ⁡ v - ln ⁡ ( ln ⁡ ( ln ⁡ 3 ) )   , α = 1  

Agora vamos analisar o primeiro limite:

lim v → ∞ ⁡ v 1 - α 1 - α =   ∞ ,     1 - α > 0 0 ,                         1 - α < 0    

Assim, temos que a integral se resume a:

∫ 3 ∞ f ( x ) d x = ∫ ln ⁡ ln ⁡ 3 ∞ 1 v α d v =   ∞ ,       0 < α ≤ 1 - ( ln ⁡ ln ⁡ 3 1 - α 1 - α ,       α > 1

Passo 3

A partir desse resultado, vamos analisar a convergência da série. Então, pelo teste da integral temos:

Convergente para α > 1 e Divergente para 0 < α ≤ 1

Resposta

Convergente para α > 1 e Divergente para 0 < α ≤ 1

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