(Capítulo 11.3 – Exercício 29) Encontre os valores de p para os quais a série é convergente.

∑ n = 2 ∞ 1 n ln ⁡ n p

Passo 1

Faaala galera, vamos lá!

Esse exercício da uma série pra gente:

∑ n = 2 ∞ 1 n ln ⁡ n p

E aí queremos saber para quais valores de p essa série converge

Para isso, podemos usar o teste da integral:

- Vamos transformar o termo geral da nossa série em uma função f ( x ) (isso significa apenas substituir n por x )

- Se essa função for decrescente, podemos seguir com os próximos passos. Se não for, byee

- Vamos calcular a integral da função f ( x ) no intervalo da somatória. Se ela convergir, a série também converge, fechou?

E aí encontramos quais são os valores de p que geram essa convergência, fechou?

Passo 2

Então, temos a série

∑ n = 2 ∞ 1 n ln ⁡ n p

Chamando f x = 1 x ln ⁡ x p , temos uma função que é sempre decrescente para x > 2 , independente do valor de p

Então temos a seguinte integral imprópria:

∫ 1 ∞ f ( x ) d x = ∫ 1 ∞ d x x ln ⁡ x p = lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t d x x ln ⁡ x p

Bom, para resolvermos essa integral, vamos usar a substituição u = ln ⁡ x e d u = d x x :

∫ d x x ln ⁡ x p = ∫ d u u p

Então, pessoal....Poderíamos continuar a fazer todas as contas que ainda faltam, massss vamos pensar em tudo que fizemos até o momento

Aquela última integral na qual chegamos é a mesma que usaríamos para testar a convergência de uma p-série, certo? Lembrando que a p-série converge para p > 1 e diverge para p < 1

Logo, já sabemos o critério para a convergência da nossa série original:

p > 1 → ∫ d u u p   c o n v e r g e → ∴ ∑ n = 2 ∞ 1 n ln ⁡ n p   c o n v e r g e p < 1 → ∫ d u u p   d i v e r g e → ∴ ∑ n = 2 ∞ 1 n ln ⁡ n p   d i v e r g e

Showww

Resposta

∑ n = 2 ∞ 1 n ln ⁡ n p   é convergente para   p > 1

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