(Capítulo 11.3 – Exercício 3) Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.

3. ∑ n = 1 ∞ 1 n 5

Passo 1

E aee colega, tudo certinho? Vamos lá pra mais uma questão de séries

Nesse caso aqui, queremos usar o teste da integral pra determinar se uma série converge ou diverge

Só pra lembrar como é feito esse teste:

- Vamos transformar o termo geral da nossa série em uma função f ( x ) (isso significa apenas substituir n por x )

- Se essa função for decrescente, podemos seguir com os próximos passos. Se não for, byee

- Vamos calcular a integral da função f ( x ) no intervalo da somatória. Se ela convergir, a série também converge, fechou?

Então boraaa lá

Passo 2

Temos a série:

∑ n = 1 ∞ 1 n 5

Que pode ser escrita assim:

∑ n = 1 ∞ 1 n 1 5 = ∑ n = 1 ∞ n -   1 5

Chamando f x = x - 1 5 , vamos verificar se essa função é decrescente no intervalo de 1 a . Para isso, vamos derivar a função e verificar se a derivada é sempre negativa nesse intervalo, porque uma derivada negativa indica que a função é decrescente, lembra? Então:

f ' x = - 1 5 . x - 1 5 - 1

f ' x = - 1 5 . x - 5 5

Então:

f ' x = - 1 5 x

Como no interval de 1 a o valor de x é sempre positivo, temos que esse denominador aí vai estar sempre com o sinal de + . Mas a fração como um todo tem um sinal de - , então a divisão vai ser sempre negativa, concorda?

Portanto, se a derivada é sempre negativa nesse intervalo, então a função é decrescente no intervalo de 1 a infinito, podemos seguir com o nosso teste :D

Passo 3

Para determinarmos se a série converge ou diverge temos que aplicar a integral conforme o intervalo da série que nos foi dada. Dessa forma, nossa integral será:

∫ 1 ∞ f x d x = ∫ 1 ∞ x - 1 5 d x

Quando temos uma integral imprópria (envolvendo o infinito), que é o nosso caso, para resolvermos temos que aplicar o seguinte limite:

lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t f ( x ) d x ⇒ lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t x - 1 5 d x

E aí se a integral convergir, então a série também converge. Caso contrário, a série diverge. Então bora lá!

Passo 4

Resolvendo a integral primeiro, teremos:

∫ 1 t x - 1 5 d x = 5 x 4 5 4 t 1

∴ ∫ 1 t x - 1 5 d x = 5 t 4 5 4 - 5 4

Aplicando o limite:

l i m t → ∞ 5 t 4 5 4 - 5 4 = ∞

Opa, nossa integral foi lá pro infinito, divergiu

Sendo assim, a conclusão é de que a a série diverge também, fechou?

Resposta

∑ n = 1 ∞ 1 n 5   é   d i v e r g e n t e

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